«По слову Кантора, сущность математики — в ее свободе»

Говорят, что математикам для работы достаточно всего лишь бумаги, карандаша и ластика. Но им прежде всего для работы нужны идеи и — свобода. Именно так считает Александр Буфетов, ведущий научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН. Мы поговорили с ним о том, как он пришел в науку, что вдохновляет его в исследовательской работе, как математика соединяет философию, теорию и практику и что такое академическая свобода лично для него.

— Начнем с вашего пути в науку. Что привело вас к математике и кто оказал наибольшее влияние? Было ли то, что вы станете математиком, неизбежностью, с учетом того чем занимались ваши родители?
— В детстве я интересовался историей. Оба моих родителя физики, но я любил историю. В младших классах школы я активно участвовал в исторических олимпиадах и побеждал. Но история в Советском Союзе это была не карьера. Мама положила решительный предел этому занятию и за руку отвела меня в математическую школу. Математическая школа №2 — одна из самых знаменитых школ Москвы. В то время, когда там появился я, туда пришел удивительный человек, к сожалению умерший 27 августа 2013 года,  — мой дорогой учитель Сергей Алексеевич Гордюнин. 

Я стал больше и больше заниматься математикой. Вначале мне мама помогала делать домашние задания, потому что, придя из обычной школы, я испытывал определенные трудности с выполнением уроков, по геометрии например. Потом потихонечку втянулся. У меня был замечательный учитель математики  Александр Иванович Балабанов, трагически рано погибший 25 апреля 2018 года. А ключевым было то, что я в 1993 году победил на Московской математической олимпиаде. Это была очень интересная олимпиада — на ней сменилась команда организаторов. Я победил неожиданно для себя самого. После этого я уже попал в орбиту притяжения московских математиков, и мой путь стал предопределенным. 

Руководителем моей дипломной работы был Юлий Сергеевич Ильяшенко. С ним я познакомился как раз в 1993 году, потому что после олимпиады был лекторий для школьников, на котором Юлий Сергеевич прочел замечательную, опубликованную в «Кванте» лекцию про подкову Смейла — важное открытие 1960-х. Его можно объяснить школьнику. Юлий Сергеевич так и сделал. После этого все и закрутилось.

— Это и был тот момент, когда вы поняли про себя, что вы математик? Как это у вас произошло?

— Нет, это осознание появилось гораздо позже, значительно позже. Мне стало ясно, что я в действительности математик, когда я кандидатскую диссертацию написал. Нет! Вы знаете, у московской математики есть сильные и слабые стороны. И одна из слабых сторон, которая, чем старше я становлюсь, тем более сильное возмущение вызывает, это искусственно, болезненно остроконкурентная среда среди талантливых московских школьников. Насколько я понимаю, в Петербурге все то же самое, если не хуже. Конкуренция школьников — как же это глупо и гадко! Агрессивная иерархизация взрослыми  травмирует подростков, входящих в юность — 14-летним быть не совсем легко, — и чем  больше я думаю об этом, тем сильнее ужасаюсь. 

А в математике место есть для всех!

Я же вообще человек не конкурентный. Даже шахматисты, как я читал в учебнике истории шахмат, бывают более и менее конкурентными. Есть шахматисты, испытывающие прямую агрессию к своему сопернику, а есть такие, у кого этого нет. В математике нет какой-то внутренней конкуренции! Математических задач хватает абсолютно на всех, с большим избытком, по слову Евангелия, «мерою доброю, утрясенною, нагнетенною и переполненною отсыплют вам в лоно ваше». По своей внутренней организации я к конкуренции не склонен, я не спортсмен. В Москве это привело к очень серьезным комплексам.

 Сомнения в том, что математика может быть моей профессией, развеял только мой научный руководитель Яков Григорьевич Синай. Он  меня всегда очень поддерживал и повторял, что математиков нельзя сравнивать, как лошадей. Заразительный оптимизм Якова Григорьевича — надо заниматься, и будет получаться! Это принстонский подход. Например, Чарльз Фефферман  как-то сказал,  его слова я часто вспоминаю: «В математике у вас обязательно получится, если вы будете трудиться. Может быть, не именно то, чего вы хотели, но у вас непременно получится!» Это правильный подход.
Принстон очень много дал мне, но мне пришлось заплатить очень высокую цену. Я почти сломался в Принстоне, и если бы не мой научный руководитель Яков Григорьевич Синай, то, очень вероятно, сломался бы. Жить на чужбине очень тяжело,  творчески состояться в чуждой среде еще гораздо тяжелее. Поэтому меня огорчают студенты, уезжающие  в западные  университеты второго и третьего ряда — лишь бы уехать, как чеховские три сестры. «Русскому человеку в высшей степени свойственен возвышенный образ мыслей, но скажите, почему в жизни он хватает так невысоко?» Разумеется, может так быть, что студент хочет работать  с данным конкретным научным руководителем, причем этот руководитель тоже хочет работать с данным студентом (с Яковом Григорьевичем меня познакомил покойный Борис Маркович Гуревич в Москве, до того, как я подал заявку в Принстон). При взаимном желании работать вместе, понятно, что студент едет к руководителю. Однако чаще едут наобум. По моим наблюдениям, это обычно кончается плохо. «Тысячи народа поднимали колокол, (…) а он вдруг упал и разбился». Конкретизируется это так: блестящий выпускник одной из московских программ едет на запад — пусть даже в университет первого ряда. Там он постепенно начинает терять высоту, впадает в депрессию, бросает математику, закапывает в землю Богом данный в долг талант. У меня перед глазами несколько таких примеров, о каждом я с грустью думаю: «а вот если бы остался  в России, был бы сейчас хорошим математиком, работал бы в хорошем месте, доказывал бы хорошие теоремы».
— Есть вот такой момент, который важен для российского ученого: переход от кандидатской степени к докторской. По рамкам социогуманитарных, наук вы преодолели эту ступень сравнительно быстро, но, насколько я понимаю, в математике бывает по-другому?

— Да, это совсем другое! Математики, как и физики-теоретики… Видите ли, математика — одна из немногих областей человеческой деятельности, в которой бывают вундеркинды. Как с исполнительским искусством:  14-летний мальчик играет на скрипке, и зал рыдает. Но вряд ли вы хотели бы лечь на операционный стол к 19-летнему хирургу, про которого все говорят, что он гениально одарен. Может быть, вы предпочли бы все-таки обычного солидного хирурга с двадцатилетним опытом. Математики часто защищаются рано, но это не мой случай. Я защитился не очень поздно, но у меня много коллег, которые защитились раньше, чем я. 

Моя карьера шла совершенно обычным путем. Я защитил кандидатскую и уже тогда, на самом деле, начал думать над некоторым сюжетом, который потом стал докторской. Колоссальное влияние оказал на меня совершенно гениальный и почти забытый математик Уильям Вич. Дело в том, что, защитив диссертацию в Принстоне, я поехал в Университет Уильяма Марша Райса в Техасе. Первый президент университета, математик Ловетт, ученик Софуса Ли, был исключительно интересный человек. В Райсе с первого дня работали прекрасные математики, например Перси Даниель, начавший заниматься вероятностью в бесконечномерных пространствах лет за 15 до появления знаменитой книги А. Н. Колмогорова. 

Когда я приехал в Университет Райса, там работал Вич. Это титан в математике, который стоит как отдельная вершина, пик. У него нет ни одной совместной работы. Это вполне типичная ситуация в XIX веке, но исключительно редкая в XX. Вич всегда работал сам, при этом очень щедро делился своими идеями и соображениями с коллегами. Я ему рассказывал про какие-то свои соображения, он мне что-то подсказывал, мы много беседовали, это было счастье! Мне и говорили, когда я пошел в Университет Райса, что общение с Вичем мне много даст; так и вышло. Вич, к сожалению, трагически погиб 30 августа 2016 года. Вич мне очень много дал. Диссертация, постдок, преподавательская позиция — мой путь в математике вполне обычный. 

 

«Взаимодействие математики с ее приложениями — нечто вроде семейной жизни»

— Существует такое скандальное мнение, которое гласит: математика — не совсем наука. Правда, некоторые говорят, что это нечто большее, чем наука, это универсальный язык, на котором в науке разговаривают. Некоторые говорят, что это буквально язык Вселенной. Где, по-вашему, заканчивается математика как автономная дисциплина математических объектов и начинается универсальный разговор на языке математики? Есть ли у вас какое-то по этому поводу мнение?

— Если под «естественной наукой» понимать систематизацию экспериментов, то математика к этому не сводится. Математика занимается не только систематизацией экспериментов. Математика — это наука о доказательствах. Предмет математики — человеческий разум.

Математика растет. Понятие о математической истине у сегодняшнего математика и у исследователей XVIII и XIX веков отличаются заметно. Здесь мы видим очень тонкий парадокс математики. Ведь, с другой стороны, доказательства, которые записали в Александрии через одно поколение после Александра Великого, сегодня преподают студентам без изменений, если не считать терминологических.Математическое доказательство вечно.

Вместе с тем математика имеет применения абсолютно ко всему. Мы сейчас живем в сильно математизированном мире, достаточно подумать о кредитных карточках или о компьютерах, об интернете, о поисковике Google. Пример, о котором сейчас любят говорить, — чаты GPT. Они работают. Каждый может в этом убедиться. Они не с неба упали. Это не вода в реке. Маленькое отступление: очень трудная и широко открытая математическая задача — проблема объяснения гидродинамической турбулентности. Почему, когда кран открываешь слегка, вода течет такой ровной струйкой? А когда открываешь сильно, то начинаются брызги во все стороны? Как это все объяснить? Это широко открытая математическая проблема. Но все-таки воду создал Господь Бог. А чат GPT написали люди. Так почему чат GPT функционирует? Это вполне математический вопрос. Ответа на него сегодня нет. Загадочная ситуация. Система работает, все это видят, но математического понимания сегодня у нас нет. Я думаю, что постепенно такое понимание появится. 

Мне трудно высказать мнение о связи математики и ее приложений. Во-первых, я сам никогда не занимался прикладными задачами. Во-вторых, все возможные мнения уже высказаны. Мне нравится мысль Фурье: математическая теорема до конца воплощается, когда находит приложения. Математика и приложения развиваются в сложной взаимной связи, которую не опишешь одним словом. Это как спросить, как живут мужья с женами. Разное бывает в жизни!

 

«Проблема российской математики в том, что у нас есть всего два главных центра»

— Что вы сейчас считаете передовым краем дисциплины, по крайней мере в вашей области? Чем занимаетесь вы?

— Я занимаюсь точечными процессами, связанными со случайными матрицами. Случайные матрицы имеют богатые приложения. На наших конференциях много физиков. В случайных матрицах так много задач! Когда я прихожу на конференцию по случайным матрицам, я понимаю, что просто нет шансов, чтобы я мог понять все доклады. Нет шансов! Так много разных точек зрения, разных применений, разных подходов! Учитывая, что в области много физиков, у нас много работ, написанных на физическом уровне строгости (то есть, попросту говоря, без доказательств).

Что касается перспективных направлений, сейчас мне очень нравится деятельность, связанная со случайными мерами. На конференции в Институте Миттаг-Леффлера в Стокгольме, посвященной 125-летию Гёсты Миттаг-Леффлера, классик нашей науки Олав Калленберг сказал : «Если бы сегодня я был молод, то занимался бы случайными мерами». Вспомним, что теория вероятностей по определению занимается пространствами с мерой. В аксиоматике Колмогорова дается пространство с мерой. А следующий шаг состоит в том, чтобы рассматривать меры на мерах. Пространство с мерой, а точка пространства — сама есть мера. Двойная конструкция случайных мер. Да, случайные меры, соглашаюсь с Калленбергом, — исключительно перспективное направление теории вероятностей.

— Сейчас очень много говорят о междисциплинарности, о том, что необходимо искать новые знания на стыке дисциплин. Может ли математика стать мостиком для этих «стыков»?

— Приложения математики есть везде. По невежеству моему, я не могу знать всего, например я не знаю математических задач, напрямую возникающих в химии. Но история нашей науки показывает очень убедительно: новые приложения возникают постоянно. 

С другой стороны, междисциплинарность как лозунг — лозунг бессмысленный. Действительно, у жизни науки в любом обществе всегда есть две стороны.

Есть наука, которой занимается один человек в своем кабинете, как Фалес. Есть наука, которой занимается государственный служащий на государственной службе — как Эйлер. Эйлер был петербургским академиком. Платили ему при этом вовсе не за математику. Эйлеру платили за составление географических карт, на котором он испортил себе зрение. Или, например, Национальный центр научных исследований во Франции: его сотрудники — государственные служащие. Им платят зарплату за то, чтобы они развивали математику. 

Далее, есть научные проекты, которые никак не может сделать один человек, даже самый гениальный. Характерный пример такого рода — измерение радиуса Земли. В Египте Птолемеев под руководством Эратосфена измерили радиус Земли. Никакой одиночка, самый гениальный, не смог бы этого сделать. Необходима  была скоординированная работа сотен людей. Но не всегда такой работы достаточно! Сто женщин не смогут родить одного ребенка за день. Хоть пятьсот женщин для этого пригласите, это невозможно. Еще менее возможно прогнозировать прогресс знания. Не всегда можно навалиться всем миром для решения проблемы. Иллюзия массовости, может быть, —  отрыжка советской бесчеловечности. Иногда несколько строк, написанных одним человеком в тихом кабинете, преображают вековую проблему, над которой трудились сотни исследователей, например, таковы знаменитые заметки Колмогорова по гидродинамической турбулентности.

Рассмотрим другой пример. Тьюринг был междисциплинарным исследователем. Прикладными результатами Тьюринга пользуется сегодня весь мир. Вместе с тем Тьюринг опирался — а он в явной форме признает этот свой долг — на исключительно теоретические работы Кантора, математика, очень далекого от конкретных прикладных проектов. 

Да, междисциплинарные исследования бывают. Но я бы сказал, что не бывает лозунгов. Наука — это наивысшее выражение человеческой свободы. Кантор сказал: «Существо математики состоит в ее свободе» И невозможно… — как «ветру и орлу, и сердцу девы нет закона» — нельзя науке диктовать: иди сюда, а туда не иди. Советское вульгарное администрирование науки и привело к тому, что советская наука теряла высоту по всем направлениям на всем протяжении послевоенной истории Советского Союза. 

В 1954 году Колмогоров выступает на XII Международном математическом конгрессе в Амстердаме. Московская математическая школа — лучшая в мире. А потом это все потихонечку опускалось, и такого взлета уже никогда не было, хотя у советских ученых были министерские зарплаты и очень привилегированное положение. Сущность математики состоит в ее свободе.  

— А что вы скажете еще об одном советском научном наследии — гиперцентрализации науки? Ведь, по сути, тогда был простой принцип: давайте свезем всех лучших специалистов в одно место, вот пусть там они и работают.

— Ваш вопрос вполне правомерный, но думаю, что дело все-таки не в этом. И во Франции, и в Соединенных Штатах есть математические кластеры — города, в которых много математиков. Видимо, первый город такого вида — Париж. В Париже работают сотни (может быть, и тысяча) математиков в десятках университетов. В США такой центр,  например, Бостон. В Бостоне чуть ли не  20 университетов, и в каждом из них есть математический факультет. Эффект кластера, , как рассказывают, был на семинаре Гельфанда, где можно было найти эксперта по любой области математики, достаточно было прийти. Конечно, это замечательно. Думаю, что ключевая проблема с математикой в нашей стране в другом, не в кластеризации как таковой. Еще раз подчеркну: такие кластеры возникают естественным образом, и они есть в любой математической большой державе — и во Франции, и в Соединенных Штатах. Проблема в том, что математика в России гиперцентрализована. В России два основных математических центра: это Москва и Санкт-Петербург. В Израиле три, а в России два.

В Соединенных Штатах не меньше пяти центров абсолютно сопоставимого уровня! Там отнюдь все не сводится к столице или к Северо-восточному коридору! Даже во Франции централизации меньше! Россия, повторюсь, гиперцентрализованная страна. Я это лучше всего понял, когда мне нужно было поехать из Ставрополя в Астрахань, и выяснилось, что самый быстрый и удобный вариант — перелет через Москву. Но Россия — это не только Москва и Санкт-Петербург!

Конкуренция университетов усиливает всех участников. Пока у нас не будет нескольких математических центров, конкурирующих на равных, боюсь, что ничего не сдвинется. Совсем недавно разговаривал с одним замечательным математиком из замечательного регионального центра, учителем нескольких поколений прекрасных ученых. Я у него спросил: «Что не дает? Почему не получается взлететь в первый ряд?» Он ответил прямым текстом: «Не хватает критической массы». Пока региональным центрам не будет хватать критической массы, нам всем будет трудно.

— А как вы относитесь к попыткам государственных органов вмешиваться в науку с точки зрения, как они говорят, «политической целесообразности»?

— Герберта фон Караяна спросили, как создать великий оркестр. Герберт фон Караян ответил: очень просто! Как английский газон: подстригать и поливать. Каждый день. Триста лет. Сама идея, что можно вот так щелкнуть пальцами… не надо путать себя с Господом Богом. 

Создание научного центра — это поколения работы. Поколения работы! Наука — живой организм! Бездумное администрирование — это ноль, путь в никуда, в пропасть! Научные школы  очень хрупкие! Каждая школа — удивительный, уникальный цветок, к которому нужно приближаться с внутренней дрожью!

— Тогда просто прямой вопрос: сейчас мы из-за пандемии и всех этих политических событий чувствуем, что мы более отрываемся от мировой математической науки?
— Разрешите мне проговорить: да, это для меня тяжелое потрясение. Это все — повторение пройденного. Все это уже было. После окончания Первой мировой войны немецких математиков длительное время демонстративно бойкотировали. Демонстративно не приглашали на конференции. Демонстративно отстраняли от участия во всемирных конгрессах. Это была французская инициатива. Французы вели политику бойкота в очень жесткой форме, действуя агрессивно и, конечно, абсолютно непрофессионально. 

Русские математики, напротив, всегда поддерживали взаимодействие с немецкими коллегами. Например, когда была инициатива вывода немецких иностранных членов из Императорской академии наук, русские математики, в частности академик Марков, выступили категорически  против. Для русского человека характерно уважение к внутренней свободе другого. 

Не  скрою, для меня тяжелым потрясением стало то, как разорвали с нами отношения многие зарубежные коллеги. С другой стороны, радостно, что другие коллеги с подобной инициативой не выступили. В целом, безусловно, бойкот — тяжелый удар. Я думаю, что нужно делать все, чтобы выжить. Я вспоминаю анекдот про раввина, который говорит: «Евреи! У вас есть десять минут, чтобы научиться жить под водой». Да, я думаю, что нужно жить. В истории русской математики открывается новая страница. От нас зависит, будет ли она славной. Все, что для этого нужно, у нас есть. Сегодня в России мне легче работать, чем на западе. Среди прочего, именно потому, что давления меньше. Внутренняя свобода — я думаю самое главное в жизни.

— Хорошо. Значит, не теряем оптимизма?
— Нет, оптимизма мы совершенно не теряем, потому что у нас прекрасные студенты. Наши математические школы отлично работают. Я бы сказал, мой опыт состоит вот в чем: сильные студенты сейчас так сильны, как никогда не были, во всяком случае на моем веку. Самые сильные сильнее, чем когда бы то ни было. Наоборот, уровень среднего студента заметно упал. Дорн говорит в «Чайке»: «Блестящих дарований теперь мало, это правда, но средний актер стал гораздо выше». У нас сегодня все наоборот.

 

«Лучший способ стать математиком — поступить в хорошую математическую школу»

— Чтобы сохранить нашу математическую школу и науку в целом, необходимо уделять больше внимания и школьному, и вузовскому образованию. Однако сейчас мы видим фокус на так называемое прагматическое, прикладное знание. Разве это не противоположность абстрактному математическому мышлению?

— Прагматичное знание — это противоречие в терминах. Знание не бывает прагматичным. Утилитарно ориентированная подготовка к профессии (тоже советский образ действий, к слову!) не имеет ничего общего с образованием. Цель образования — формирование человеческой личности. Да, университетское образование  формирует человеческую личность. И либо это есть, либо этого нет. 

— А какое нужно получить образование в наше время, чтобы состояться в математике? С чего начать свой путь?

— Лучший способ на сегодняшний день, по-моему, — учиться в хорошей математической школе. Во многих крупных и даже не очень крупных городах нашей страны такие школы есть. Недавно я читал лекцию в Саратове, в центре, который называется «Галактика». Прекрасный центр, на меня произвел очень сильное впечатление. Много хороших школ в нашей стране, среди них и знаменитые интернаты — новосибирский, основанный Лаврентьевым, московский, основанный Колмогоровым, петербургский.

Работают школы по переписке. Заочная физико-техническая школа при Физтехе —  бесплатная, если заранее подать. Аналогичная школа в МГУ, помнится, платная, но, думаю, что речь идет об очень символических суммах. Можно слушать лекции в интернете, например лекции Независимого университета. Все занятия Независимого университета — открытые и бесплатные. А потом, в нашей централизованной стране нужно постараться учиться в Москве или Санкт-Петербурге. На математические направления конкурсы не трансцендентно высокие. 

И конечно, самое главное — найти своего наставника. Рудольф Нуриев занимался с педагогом даже в очень зрелом возрасте, ходил в балетные классы и делал все рутинные упражнения на всем протяжении своей карьеры. 

Да, композиторы-самоучки бывают. Ни Роберт Шуман, ни Рихард Вагнер не имели профессионального музыкального образования. Но математиков-самоучек практически нет. Единственное возможное исключение, которое приходит в голову, — Нильс Генрик Абель. Подавляющее большинство математиков нового времени сформировано в крупном профессиональном центре.

— По сути, получается, что два пути — либо мехмат, либо матмех?

— В Санкт-Петербургском университете сегодня два математических факультета: матмех и ФМКН. А в Москве, помимо мехмата, есть Физтех. Самые лучшие студенты на моем семинаре — с Физтеха. Физтех сейчас очень сильно поднялся. У мехмата, конечно, тоже интересная программа. Но, по моему опыту, сегодня самые яркие студенты — с Физтеха. Есть где учиться!

— Тогда в качестве постскриптума хотел бы спросить про ваш интерес к музыке, раз вы сами о ней заговорили. Музыка — это правда вариант математики? Можно ли поверить алгеброй музыкальную гармонию и вывести ее математически, как это пытались делать Скрябин, Дебюсси и Шенберг?

— Мне нравится мысль, что математика и музыка — это диалектические противоположности в духе Гегеля. Эйлер говорил, что когда мы слушаем музыку, душа считает с наслаждением. Я не берусь рассуждать о математической стороне музыки. Да, я люблю музыку, однако я никогда не занимался математической природой музыки, областью, впрочем, чрезвычайно интересной. 

Многие математики любят музыку! Хорошо известно, что Павел Сергеевич Александров был дружен с Константином Николаевичем Игумновым. Александров и Колмогоров встречались в Консерватории. В прошлом году, на финальных прослушиваниях конкурса Чайковского я видел нескольких руководителей математических учреждений Москвы. Можно было проводить слет руководителей московских математических центров прямо в Консерватории! Кажется, любовь к музыке выделяет именно математиков. 

Неоднократно описан опыт, что математику приходят новые соображения при прослушивании музыкального произведения. У меня такой опыт тоже был. Музыка упорядочивает мысли. А почему это происходит, я не знаю… В этом году юбилей Антона Брукнера, и на днях Арсентий Ткаченко дирижировал очень редко исполняемой гениальной Первой симфонией ученика Брукнера Ганса Ротта. Это было удивительное чудо, поразительный концерт, один из самых ярких в этом сезоне и в моей жизни!

При поддержке гранта Минобрнауки России в рамках федерального проекта «Популяризация науки и технологий» № 075-15-2024-571 и всемерной поддержке Физтех-Союза.