Коронный прогноз

Пандемии не раз за историю человечества уносили миллионы жизней. В предыдущие эпохи людям приходилось проверять верность своих методик борьбы с невидимым врагом путем проб и ошибок. Последние месяцы мы наблюдаем за развитием новой пандемии в режиме онлайн, а разрабатываемые математические модели дают возможность оценить параметры распространения вируса и построить вероятные сценарии развития эпидемии для каждого города. С их помощью ретроспективно определяют эффективность конкретных административных вмешательств для последующей корректировки стратегии борьбы с эпидемией. О построении таких моделей на начальных этапах распространения вируса мы поговорили с представителями научной группы из МФТИ и ФИАН.

 

В гуще математики

Как и во многих других научных сферах, в создании эпидемиологических моделей существует дихотомия между тем, что нужно сделать для того, чтобы расчет описывал реальность, и иллюстративными расчетами, демонстрирующими механизмы распространения инфекции. Иллюстративные расчеты, которые показывают общие механизмы и глобальные эффекты, всегда упрощены до такой степени, чтобы эти механизмы проявить. И большая часть литературы по эпидемиям, включая те статьи, которые рассматривают неоднородность передачи вируса, относятся именно к этой научной категории. Однако для описания частностей происходящего эти обобщенные модели не слишком подходят.

Для того, чтобы создать модель, которая описывает реальность, нужно построить симуляцию, в которой заражение является вероятностным и будет зависеть от частоты контактов и размеров популяции. В симуляцию необходимо заложить соответствующие временные шкалы. Кроме того, нужно учесть эмпирические данные о том, сколько дней носитель вируса заражает других людей, и ключевой параметр для таких моделей — количество людей, которых в среднем заражает инфицированный человек (R₀). При R₀ меньше единицы эпидемия начинает затухать, а при значениях больше единицы число вновь инфицированных растет и эпидемия набирает силу. Величина R₀ зависит от особенностей вируса, доли населения, получившей иммунитет в ходе болезни или в результате вакцинации, а также от жесткости карантинных мер. При этом человек может быть бессимптомным носителем вируса или же у него проявятся признаки болезни. Во втором случае при проявлении симптомов он довольно быстро перестает заражать окружающих, потому что болеет дома либо в больнице. Но если больной бессимптомный, то он продолжает заражать других. Затем нужно выяснить, какой процент заболевших из оказавшихся в больнице попадает на ИВЛ, то есть оказывается «тяжелым», и оценить процент смертей. 

Одна из стандартных моделей, которые позволяют отследить глобальные эффекты, называется SIR (Susceptible — число восприимчивых к инфекции людей, Infectious — зараженные носители вируса, Recovered — выздоровевшие или умершие). С помощью этой модели можно определить наличие или отсутствие эпидемического порога в зависимости от числа акторов(действующих лиц) и количества контактов между ними. Это хорошо для иллюстрации качественной классификации карантинных режимов, но для более-менее детального прогноза по конкретному городу необходимы конкретные числа. А вложить конкретные числа в подобные модели нельзя, потому что они оперируют усредненными величинами. Вероятностная картина в таких моделях оказывается слишком грубой для количественных прогнозов. Общий характер кривых, полученных при помощи модели SIR и ей подобных, описывающих развитие эпидемии для разных городов, может быть схож. Но использовать кривые, полученные для Майкопа, при анализе ситуации в Москве нельзя. Поэтому приходится писать симуляцию, основанную на числах и карантинных мерах, характерных для каждой отдельной агломерации. 

 

Взгляд из Долгопрудного

В начале весны в МФТИ состоялась встреча с представителями Минздрава, по результатам которой небольшая научная группа занялась созданием новой агентной эпидемиологической модели для российских городов. В состав этой группы вошли:

• директор Физтех-школы прикладной математики и информатики, заведующий лабораторией продвинутой комбинаторики и сетевых приложений, заведующий кафедрой дискретной математики Андрей Райгородский;
• заведующий лабораторией математического моделирования сложных систем отделения теоретической физики ФИАН, профессор кафедры дискретной математики МФТИ Андрей Леонидов;
• научный сотрудник МФТИ и ФИАН Екатерина Серебрянникова;
• научный сотрудник ФИАН Сергей Васильев.

Андрей Райгородский, директор Физтех-школы прикладной математики и информатики, заведующий лабораторией продвинутой комбинаторики и сетевых приложений, заведующий кафедрой дискретной математики:

— Во второй половине марта к нам обратился министр здравоохранения Михаил Мурашко. Поскольку было понятно, что времени на долгую и кропотливую работу нет, нам не ставили задачу создать модель, которая будет достаточно точно описывать поведение огромного города. Задача состояла в том, чтобы построить модель, которая может дать достаточно правдоподобные предсказания для любой агломерации. Это позволило бы понять, как можно административно отреагировать на складывающуюся ситуацию, не развалив по пути экономику. Поэтому мы интерпретируем результаты работы нашей модели именно как рекомендацию к определенным административным действиям.

Самая подробная модель, учитывающая транспортные потоки и множество видов гетерогенности в городской системе, создавалась в США на протяжении 5 лет. Эту модель использовали в Сбербанке, дорабатывая ее конкретно под эпидемиологическую ситуацию в Москве. Но тогда подробных данных еще не было, и это стало главным недостатком модели. Можно учесть очень тонкие характеристики в сложной сети взаимодействий между людьми в рамках графовой модели. Но на это потребовалось бы несколько месяцев, которых не было на момент начала эпидемии в России. В то время уже намечался экспоненциальный рост числа заболевших. Нужно было оперативно принимать решения по вводу тех или иных ограничений. 

Поэтому чрезвычайно актуальной была задача построить модель, которая достаточно быстро выдавала бы адекватные представления о существующих рисках при разных вариантах развития эпидемии. С опорой на прогнозы риски должны были административно минимизироваться, после чего можно было бы уже меньшие риски учесть при пересчитывании параметров модели.

Минздрав предоставлял создателям модели ключевые параметры — среднее количество зараженных от одного носителя и временную длительность. Один параметр — число бессимптомных носителей вируса — по мере развития эпидемии корректировался. Остальные параметры, по словам авторов модели, оставались почти неизменными.

 

Веер предсказаний

Развитие эпидемии решающим образом зависит от того, какие меры принимаются властью. Однако, модель того, каков будет отклик такой сложной системы на административные действия, построить не получается. Ограничительные меры могут вводиться в разных местах более или менее строго, к тому же соблюдаться жителями разных агломераций могут по-разному. Заранее можно получить лишь «веер предсказаний», то есть веер возможных кривых, иллюстрирующих разные сценарии развития событий. Основной результат прогнозов, полученных для крупных городов и иных агломераций с большим числом контактов между людьми, — показательная картина того, что если ничего не делать, не вводить ограничения на перемещение жителей и другие административные меры, то, скорее всего, число переболевших будет очень быстро расти и выйдет на плато только после заражения около 60% населения. А это гарантирует большое число смертей из-за невозможности оказать медицинскую помощь всем нуждающимся на пике заболеваемости.

«Прогноз меняется в зависимости от жесткости принимаемых мер, и мы давали его по текущей ситуации с учетом уже введенных ограничений. Мы несколько раз просчитывали ситуацию по Москве и по Адыгее. Созданная нами модель, позволяет оценить риски и принять решения в соответствии с прогнозами. И в этой модели уровень принятых мер отражается в явных параметрах. То есть это не “черный ящик”, в отличие от нейронных сетей», — объясняет Андрей Леонидов.

Как правило, в риск-менеджменте рассматривают три сценария — плохой, средний и хороший. Этого обычно вполне достаточно для принятия большинства решений. Все остальное — детали, которые интересны только специалистам. Но очень важная составляющая риск-менеджмента — учет наихудшего сценария. Необходимо было исключить катастрофическое развитие событий, подобное итальянскому или испанскому. Например, в случае с Москвой развертывание после сдачи новой больницы в Коммунарке дополнительных стационаров на ВДНХ и в Крокус-Экспо, рассчитанных на несколько тысяч больных, не означало, что власти ожидали единовременно такое число тяжелых больных. По словам Андрея Леонидова, эти решения мэрии столицы были основаны на грамотном риск-менеджменте. 

 

Что такое осень

Многочисленные прогнозы прихода второй волны эпидемии осенью, которые связывали прежде всего с пока не обнаруженным у вирусной инфекции 2019-nCoV наличием сезонной активности, судя по всему, могут сбыться по другой причине. Ведь помимо понижения температуры осень приносит и иные риски. В ходе введения карантинных мер во многих странах были в первую очередь закрыты школы и вузы. Но если сотрудники частных компаний и госучреждений могут работать в удаленном режиме в любое время года, то учебным заведениям, скорее всего, придется открыть свои двери в сентябре. Это сильно изменит структуру социальных контактов, сложившуюся у людей за весну и лето.

В августе этого года выпускники МФТИ Алексей Ткаченко и Сергей Маслов, работающие в Национальной лаборатории Брукхейвена и Университете Иллинойса, получили результаты, согласно которым распространение эпидемии зависит, в первую очередь, от стойкой неоднородности по популяции индивидуальной восприимчивости к инфекции. Включив указанную неоднородность в широкий класс эпидемиологических моделей, они обнаружили, что это приводит к сильному изменению картины динамики эпидемии на ранних стадиях развития и значительно снижает порог коллективного иммунитета. Последнее приводит к колоссальному снижению числа заболевших до затухания эпидемии. Такая картина хорошо соответствует реально наблюдаемому протеканию эпидемии. 

Люди с высокой восприимчивостью к инфекции заражаются первыми. Они становятся основными распространителями вируса, поскольку очень часто чем выше восприимчивость к болезни, тем больше возможностей ее распространять. Таким образом, люди с высокой восприимчивостью, число которых составляет от 20 до 30% популяции, все переболеют, после чего эпидемия пойдет на спад. То есть, по сравнению с классическими оценками, для возникновения коллективного иммунитета переболеть должно в 2–3 раза меньше людей.

Используя данные о реальных сетях личных контактов и возрастных вариациях заболеваемости во время эпидемии COVID-19, эмпирические данные по эпидемии в Нью-Йорке и Чикаго, а также в 50 штатах США, ученые получили оценки, согласно которым наиболее пострадавшие районы, такие как Нью-Йорк, близки к порогу коллективного иммунитета уже после первой волны эпидемии. Однако это равновесие может быть нарушено, поскольку со временем коллективный иммунитет ослабевает при существенном изменении структуры социальных взаимодействий. Что и может случиться по окончании летних школьных каникул.