Общеизвестный, но интригующий феномен правила шести рукопожатий, гласящего, что до любого человека можно «дотянуться» через шесть связей (если взять всех знакомых человека, затем знакомых его знакомых и т. д., то уже на шестой итерации будут получены все жители планеты Земля), подтвердили и объяснили с помощью математической модели ученые МФТИ с коллегами из международной исследовательской группы. Результаты работы представлены в международном научном журнале Physycal Review X.
Еще в рассказе «Звенья Цепи» (1929) венгерский писатель Фридьеш Каринти описал игру, в которой герои обсуждают, насколько человечество стало ближе друг к другу, чем прежде. Чтобы доказать это, в игре предлагается связаться с любым человеком из всего населения Земли (около 1,8 миллиарда в то время), используя только личную сеть знакомств, делая ставку на то, что полученная цепочка будет состоять не более чем из пяти посредников.
В рассказе впервые появилось выражение «шесть рукопожатий», чтобы отразить идею о том, что все люди в мире находятся на расстоянии не более шести социальных связей друг от друга. На первый взгляд тут нет ничего удивительного: если у каждого человека есть хотя бы 100 знакомых, то знакомых знакомых может быть уже 10 тысяч, на третьем шаге — миллион, и т. д., вплоть до триллиона на шестом шаге. Однако в реальности люди будут повторяться уже на втором шаге, так что такого быстрого роста может и не случиться. Например, при первобытном строе, когда каждый знал только людей из своего племени и парочки соседних, никакого закона шести рукопожатий быть не могло. Вполне естественно, что концепция возникла только в XX веке — с появлением телеграфа, радио, океанских пароходов и курьерских поездов.
Позже эта концепция была оформлена математически и получила название модели «малого», или «тесного» мира. Моделью сети является граф, то есть математический объект, состоящий из вершин (узлов) и ребер (двусторонних связей между вершинами).
При классическом понимании «малого мира» граф обладает сразу двумя свойствами. Во-первых, у него высокий уровень кластеризации, то есть он содержит множество «компаний» — групп вершин, которые попарно связаны друг с другом. Во-вторых, любые две вершины графа соединены короткой цепочкой посредников. С течением времени концепция «малого мира» становится все более популярной, потому что обозначенным свойствам удовлетворяют все современные социальные интернет-сети.
Однако типичное ограничение на длину цепочки посредников, возникающее в моделях, — логарифмическое, то есть хоть и медленно, но растущее с увеличением сети. Вместе с тем во многих реальных сетях общества самого разного размера возникает ограничение именно длиной 6, как в правиле шести рукопожатий. Такое явление называется «сверхтесным миром».
До сих пор отсутствовало четкое объяснение механизмов, через которые сети человеческих связей организуются именно в такие схемы. Почему они возникают? Каковы основные механизмы явления? Почему длина кратчайшего пути между агентами в социальной сети обычно ограничена шестью, а не пятью, семью или любым другим числом? Одно из стандартных объяснений — наличие в обществе иерархических структур: за несколько шагов можно «подняться» до лидера страны, от него перейти к лидеру другой страны и дальше «спуститься». Неясно, однако, почему такой же эффект наблюдается в самых разных социальных сетях, независимо от их популярности в подобных иерархических структурах.
Математики МФТИ с коллегами по международной исследовательской группе под руководством Стефано Боккалетти вывели и предложили теоретико-игровой механизм, объясняющий этот социальный феномен за счет горизонтальных связей, а не вертикальных структур. Их исследование показывает, что этот уникальный эффект может являться прямым результатом динамической эволюции любой исходной структуры, в которой люди соотносят свое стремление стать полезными посредниками для большего числа людей, с затратами, понесенными при формировании или поддержании связей.
«В теоретико-игровых моделях построения социальных сетей каждая вершина сети — это некоторый рациональный агент, который хочет занимать выгодное положение в сети. Вопрос “что значит выгодное положение?” является хорошим и не имеет однозначного ответа. Обычно в таких моделях “выгодным” называется центральное положение вершины. Под центральностью вершины подразумевается такое положение, при котором через нее проходит много путей, соединяющих какие-то другие вершины сети. Простыми словами, человек стремится быть полезным посредником для большого количества других людей. Мы определили взвешенный аналог этой функции центральности — weighted betweenness centrality — и предложили использовать его как функцию выигрыша в теоретико-игровой модели: то есть каждая вершина стремится увеличить свою центральность, при этом с наименьшими усилиями», — рассказал первый автор исследования, студент магистратуры кафедры дискретной математики МФТИ Иван Самойленко.
Ученые проанализировали возникающие в модели структуры аналитически, а также симулировали на компьютере эволюцию социального графа, рост которого регулируется простым правилом компенсации. Это правило уравновешивает затраты, понесенные узлами (людьми) при поддержании соединений (социальных связей), и выгоду, получаемую от них.
«Люди часто стремятся приобрести “ценные связи” или сами стать “нужным человеком”. Однако поддержание таких связей требует определенных усилий и затрат, так что реально возникнут лишь те связи, для которых игра стоит свеч: выгоды превышают издержки. В нашей модели мы изучаем ситуацию, когда такой балансировкой занимаются одновременно все агенты в сети, и возникающие при этом глобальные эффекты.
Важно, что размер выгод зависит от уже сложившихся связей, то есть решения агентов влияют друг на друга. Мы строго показываем, что в равновесии, когда ни один агент уже не хочет ничего менять, сеть имеет диаметр, не зависящий от размеров системы и равный шести. Это и есть эффект “сверхтесного мира” — и, что примечательно, именно для знаменитой константы шесть. Кроме теоретического анализа, мы провели компьютерную симуляцию, в которой при простых правилах эволюции сети, когда выгодные связи заводятся, а невыгодные разрываются, глобальная картина довольно быстро приходит к закону шести рукопожатий. Таким образом, наше исследование показывает, как индивидуальные устремления людей в сети складываются в общую картину», — добавил доцент кафедры дискретной математики МФТИ Даниил Мусатов.
1
