Ученые из МФТИ построили цифровой аналог квантовой механики. Эта модель позволяет естественным и удобным образом моделировать любые квантовые явления на компьютере. Работа опубликована в Theoretical and Mathematical Physics.
Вы когда-нибудь задумывались, что такое «квантовые вычисления» и как они могут изменить наш мир? Это стремительно развивающаяся область науки, которая обещает большие перспективы. Квантовые компьютеры, основанные на принципах квантовой механики, могут решать задачи, которые просто невозможно вычислить на обычных компьютерах.
Чаще всего мы слышим о квантовой криптографии и криптоанализе — применении квантовой информатики к шифрованию и взлому шифров. Но на самом деле это лишь верхушка айсберга! Основная цель квантовых компьютеров — моделирование сложных систем, что было предложено еще великим физиком Ричардом Фейнманом. Благодаря развитию технологий в этой области мы уже можем решать задачи, которые даются классическим компьютерам с трудом. Это могут быть вычисления в химии, биологии и даже в промышленных процессах.
Но что же делать, если нужно работать с непрерывными данными, такими как, например, координаты и импульсы частиц? Как перевести их на «язык» квантового компьютера?
В недавней работе ученые МФТИ рассмотрели, как эти непрерывные величины можно представить в виде дискретных чисел или, как мы их называем, цифр. Это похоже на то, как мы делим все свои воспоминания на маленькие понятные фрагменты, чтобы легко с ними работать. В ходе своего исследования ученым удалось построить новую математическую модель — цифровую квантовую механику, которую можно использовать для численного моделирования квантовых явлений.
Физики рассмотрели, как координаты и импульсы можно представить в виде рядов, в которых цифры становятся наблюдаемыми величинами. С помощью этого подхода они описали несколько квантовых эффектов. Кроме того, в ходе исследования у ученых возникло множество идей и методов, позволяющих приписывать конечные значения расходящимся рядам, что может быть полезным в квантовой теории поля.
Рисунок 1. Цифровые квантовые наблюдаемые. Источник: Artur. http://www.quantiki.org/wiki/index.php/Image:Qregister.jpg, CC BY-SA 3.0, https://ru.wikipedia.org/w/index.php?curid=593611
При математическом описании физических величин в квантовой механике с помощью цифровых представлений чисел в компьютере (двоичных или строковых десятичных) оказывается, что сами цифры чисел становятся квантовыми наблюдаемыми величинами. Такое их рассмотрение требует создания цифровой квантовой механики.
Авторы изучили в первую очередь цифровое представление квантовых операторов координаты и импульса, но все это может быть перенесено на любые пары квантовых наблюдаемых, которые можно переводить друг в друга с помощью преобразования Фурье. Координата записывается в виде суммы цифр, умноженных на степень основания системы счисления, а любая функция от этой координаты — как вектор из функций, соответствующих каждой цифре. Тогда цифровой аналог оператора импульса описывает дискретные сдвиги вдоль координаты.
Каждая цифра рассматривается как отдельная наблюдаемая квантовая величина, и ей соответствует свой квантовый оператор. Авторы работы изучили свойства этого оператора и его разложение Фурье, рассмотрели случаи разных систем счисления.
Особый интерес представляют собой перенормировки в цифровой квантовой механике. Они естественным образом возникают из-за того, что рассматриваемая числовая решетка является дискретной, и вследствие этого исчезают проблемы с бесконечными суммами и интегралами в квантовой теории.
Более века назад похожая проблема существовала в теории теплового излучения. Оказывалось, что если следовать экспериментально обнаруженным формулам, то полная мощность теплового излучения любого тела должна быть бесконечной. Этот парадокс, названный «ультрафиолетовой катастрофой», был решен с введением квантования излучения: хотя электромагнитные волны распространяются непрерывно, поглощаются и излучаются они дискретными порциями — квантами.
Рисунок 2. Ультрафиолетовая катастрофа в классической физике. Введение квантования излучения позволило найти правильную формулу и решить проблему с возникновением бесконечной мощности излучения. Источник E. F. Schubert Light-Emitting Diodes (Cambridge University)
В современной квантовой теории есть похожие теоретические затруднения, и один из способов их разрешения как раз заключается в том, чтобы осуществить квантование самих координат пространства и времени.
Авторам удалось продемонстрировать, что в их цифровой квантовой механике трудности с бесконечностью устраняются наиболее естественным образом.
Рисунок 3. Ультрафиолетовая расходимость в квантовой физике. Здесь нарисовано несколько слагаемых из бесконечной суммы, которая описывает переход частицы из состояния с одним импульсом в состояние с другим. Даже при таком простом переходе возникает расходимость. Источник: лекции по квантовой электродинамике МФТИ, 2005 год, автор: С. Н. Вергелес
В случае если квантовая механика рассматривается на конечной решетке, уже нельзя получить бесконечной суммы. Тем не менее понятие перенормировки переносится и на конечные решётки и сводится к перенумерации узлов решётки. Перенормировкой оказывается переход от нумерации только положительными числами к нумерации, использующей и положительные, и отрицательные числа.
Рисунок 4. Схема перенормировки на конечной решетке. Цифры больше некоторой величины, изображаемые красным цветом, сопоставляются отрицательным цифрам. Источник: Theoretical and Mathematical Physics.
«Данная работа может развиваться в двух направлениях, — рассказал Михаил Иванов, доцент кафедры теоретической физики МФТИ. — Во-первых, это развитие методов вычислений квантовых и классических компьютеров. Во-вторых, развитие теории перенормировок и фундаментальных основ квантовой теории поля. Первое направление является прикладным, а второе — в существенной степени поисковым, но и в нём получен и опубликован интересный результат, показывающий равенство нулю энергии вакуума для широкого класса решеточных теорий».
9
