Наука о бесконечности

У математика Дениса Савельева из Высшей школы современной математики МФТИ редкая для России специализация — теория множеств. Это самая абстрактная и «философская» область математики. Таким же получился и наш разговор.

— Вспоминаю расхожую фразу, из тех, которыми легко разозлить ученых. Ее приписывают разным великим физикам (хотя на самом деле она принадлежит писателю Курту Воннегуту): «Если ученый не может объяснить восьмилетнему ребенку, чем он занимается, значит, он шарлатан». 

— Кто бы это ни сказал, это лишь звонкая фраза. Тем не менее, конечно, всегда нужно стремиться к полной ясности и постижимости. 

— Вы чувствуете барьер между своей деятельностью и возможностью рассказать о ней нематематикам? 

— Пожалуй, есть даже два препятствия. Одно связано со сложностью материала. Это препятствие есть и в физике, и в других науках. Другое — более специфическое для математики. Она изучает предметы идеального, а не материального мира, и это может быть не очень понятно человеку со стороны, ему сложно корректно объяснить, чем вообще занимается математика.

— Может быть, пользуясь аналогиями…

— Пожалуйста. Математика сходна с музыкой — тем, что обе дисциплины основаны на идеях, непереводимых на повседневный язык, предназначенный для разговора о материальных вещах. Может быть, обывателю с его расхожим представлением о музыке как «языке чувств» не очевидно, что музыка выражает не чувства, а мысли, но это так; только эти мысли чисто музыкальные и не переводятся на обычный язык. С математикой сходная ситуация: ее идеи чисто математические, что и создает упомянутое препятствие для нематематиков.

— Некоторые упрекают математиков в снобизме по отношению и к физикам, занимающимся более приземленными вещами, и к философам, рассуждающим о вещах отвлеченных.

— Есть известная шутка… Представляете расположение корпусов МГУ на Воробьёвых горах? Мехмат там в главном здании. А философский факультет — на полпути от мехмата к цирку.

— Вы выбрали специализацию, абстрактную даже на фоне прочей математики, — теорию множеств. Это ведь как философия математики, рефлексия оснований математики? 

— Выбор области исследований — дело вкуса и личных предпочтений, конечно; мне абстрактные вещи всегда казались и красивее, и понятнее. Признаюсь тут, что я никогда толком не понимал физики, хотя в детстве любил почитывать научно-популярные книжки о ней, — сама природа материального мира мне представляется неясной. Математика с этой точки зрения проще и яснее. Ее объекты абстрактнее, и поэтому проще объектов реального мира.

— Зато реальный мир существует!

— Смотря что значит «существовать»…

— Да, что значит «существовать»? Я не могу понять: в каком смысле существуют математические объекты, которые придумывают математики? 

— Вопрос отличный, причем именно в теории множеств он особенно проявляется; но здесь мы как раз подошли к тем самым двум препятствиям. Они не являются непреодолимыми, как-нибудь стоило бы подробнее поговорить о понятии существования; но сейчас это все-таки вышло бы за рамки нашей простой беседы. Поэтому предлагаю вместо обсуждения этого вопроса в целом ограничиться теми отдельными замечаниями, которые неизбежно возникнут в ходе разговора. 

Что касается моих взглядов, то в споре тех математиков, мировоззрение которых обычно называют (математическим) платонизмом, то есть считающих математические объекты существующими в идеальном мире, и тех, которые исповедуют разного рода конструктивизм, то есть считающих эти объекты не существующими в реальности, а представляющими собой только наши конструкции, — я однозначно на стороне первых. 

— Это напоминает продолжение средневекового спора номиналистов, считавших, что идеи — просто имена без сущности, и реалистов, полагавших, что идеи наделены собственным бытием, существуют в реальности. 

— Уточню: нужно различать философию математического конструктивизма и возникшую из нее так называемую конструктивную математику. Философия такого рода постулирует, что реально существует лишь то, что можно построить методами, которые она рассматривает как достаточно надежные. Слегка окарикатуривая, можно сказать, что математик, исповедующий подобные взгляды, полагает, что в реальности существует лишь то, в чем он уверен; это похоже на род солипсизма и не представляется мне особо умной позицией. 

Однако конструктивная математика, возникшая из попыток построить математику, следуя философским принципам конструктивизма, это вполне содержательная область со своими интересными результатами; она описывает важную часть математической реальности, просто не всю ее. И чтобы заниматься конструктивной или интуиционистской математикой, нет нужды придерживаться соответствующей философии.

— По крайней мере, я понимаю, что математика — это про числа…

— Совсем не обязательно: числами занимается далеко не вся математика. Разве геометрия — про числа? Или топология. Тем более — теория множеств.

— А чем занимается теория множеств? И зачем она вообще нужна? 

— Начнем с того, что теория множеств — это наиболее общая математическая теория, в том смысле что любая другая может быть в нее погружена. Объекты любой другой математической дисциплины можно понимать как множества, и любые математические утверждения могут быть сформулированы на языке теории множеств. Этот язык очень прост, в нем лишь один символ, выражающий принадлежность одного множества к другому, но при наличии правильных аксиом его достаточно, чтобы интерпретировать в нем всю остальную математику.  

Это первое, что обычно отвечают на вопрос: зачем нужна теория множеств? Но сказать только это было бы совершенно недостаточно. Теория множеств — это наука о бесконечности; в этом смысле она занимается главным вопросом математики. 

— Как это?

— В некотором смысле вся математика — наука о бесконечности. Разумеется, математики занимаются и конечными объектами, такими как натуральные числа или конечные группы, но обычно нетривиальное математическое утверждение относится ко всему их бесконечному классу (выделяя из него те, которые обладают исследуемым свойством); утверждение об одном конкретном объекте, не говорящее ничего о всех, скорее было бы похоже на решение головоломки. 

Бесконечность, возникающую в таких вопросах, можно понимать как потенциальную; теория множеств же изучает бесконечность в ее актуальном виде. Один из базовых фактов теории множеств, который понял ее создатель Георг Кантор [1], состоит в том, что бесконечные множества можно сравнивать по их величине — или, как говорят, по их мощности или кардинальному числу [2] — причем к каждой бесконечной величине можно построить еще бóльшую. С тех пор были открыты новые способы построения больших множеств, и было понято, что утверждения о существовании очень больших множеств оказываются чрезвычайно сильными. Попробую пояснить в двух словах, почему. 

Исходная идея теории множеств очень проста и состоит в том, что каждому свойству соответствует множество всех обладающих им объектов; такой принцип называется аксиомой свертывания (по данному свойству). Например, можно говорить о множестве всех белых объектов или всех объектов, являющихся натуральными числами. Формализация этой идеи примерно соответствует системе, предложенной Готлобом Фреге [3] в конце XIX века. К сожалению, эта система противоречива, как показал знаменитый парадокс Рассела [4] (замеченный также Цермело [5]) и ряд других парадоксов — их обнаружение на рубеже веков ввергло в скепсис слабых духом и послужило стимулом возникновения философии интуиционизма и подобных конструктивистских взглядов. 

Разумное решение было найдено уже в самом начале XX века Эрнстом Цермело, который предложил ограничиться аксиомами свертывания лишь для некоторых конкретных свойств — эти аксиомы можно понимать как принципы, позволяющие строить одни множества из других, — а также аксиомой существования хотя бы одного бесконечного множества (без которой теория множеств вырождается в вариант арифметики). Усиленный вариант этой теории, известный как теория Цермело — Френкеля, стал наиболее стандартной аксиоматизацией теории множеств. 

Если множество настолько большое, что оно замкнуто относительно тех принципов построения новых множеств, которые описываются аксиомами нашей теории (то есть, применяя эти принципы, невозможно получить что-то такое, чего в этом множестве нет), то оно дает модель этой теории. Но из второй теоремы Гёделя о неполноте следует, что существование модели теории недоказуемо в ней самой (при некоторых условиях на теорию, которые я здесь не упоминаю). 

Это и значит, что утверждение о существовании такого большого множества, добавленное к исходной теории, дает теорию более сильную. Такие утверждения — их можно понимать как усиленные варианты аксиомы бесконечности — называют «аксиомами больших кардиналов» (то есть кардинальных чисел). Эти аксиомы, имеющие довольно разнородные определения с разной мотивацией, вместе выстраиваются в иерархию по их силе — вплоть до самых сильных математических утверждений, известных на настоящий момент (не стану приводить их формулировки, они довольно специальны).

Так вот — теперь я возвращаюсь к вопросу, почему теория множеств важна, — отнюдь не только потому, что в ней интерпретируется «обычная математика» (которая на самом деле занимает самые нижние этажи теории множеств); прежде всего она важна, потому что занимается самыми сильными утверждениями, которые возникают в математике. Следствиями этих утверждений могут оказаться решения математических вопросов, не разрешимых более слабыми средствами, причем эти вопросы могут относиться даже к маленьким множествам из «обычной математики». 

— Что происходит с теорией множеств в наше время? Она из тех областей математики, которые сейчас бурно развиваются? 

— Да, она активно развивается, и многие аспекты современной теории множеств технически чрезвычайно сложны; я не всё могу понять в каких-то ее областях, которые специально не изучал, там есть крайне сложные работы. Постепенно решаются вопросы, долго остававшиеся открытыми. Еще важно отметить происходящий в последние десятилетия процесс слияния разных направлений теории множеств, которые вначале развивались параллельно, не особенно влияя друг на друга. Теперь стало видно, что такие области, как большие кардиналы, теория внутренних моделей, дескриптивная теория множеств — взаимосвязаны. 

Замечательным результатом этого процесса стало полученное Мартином, Стилом и Вудином [6] в конце XX века доказательство того, что существование определенных больших кардиналов равносильно тому, что аксиома детерминированности выполняется во внутренней модели теории множеств, состоящей из «конструктивных над вещественной прямой» множеств, включающей все проективные множества. Следствием этого стали решения классических проблем дескриптивной теории множеств, о которых Лузин [7] в первой половине столетия пессимистически писал «неизвестно и никогда не будет известно», повторяя знаменитое ignoramus et ignorabimus Дюбуа-Реймона [8]. Прав оказался Гильберт [9], возражавший: «Для нас, математиков, нет никакого ignorabimus […] Мы должны знать — мы будем знать!»

— Вы как математик какими темами сейчас занимаетесь? 

— Есть несколько важных для меня тем, связанных с теорией множеств и близкими областями. Поговорить обо всех не получится, поэтому скажу о своих текущих занятиях. Они относятся к теории ультрафильтров; это понятие принадлежит к теории множеств, но важно для многих областей математики. 

Ультрафильтр над множеством — это специфическое семейство его подмножеств [10]. Всевозможные ультрафильтры над данным множеством образуют его так называемую компактификацию Стоуна — Чеха [11] — пространство, на которое продолжаются любые непрерывные функции, отображающие это множество в особые «хорошие» пространства, которые называются компактами. Этот фундаментальный факт общей топологии был понят перед Второй мировой, а почти 40 лет спустя было замечено, что он обобщается на функции двух переменных, причем если расширяемое множество является полугруппой, то расширение полугруппы ультрафильтрами дает тоже полугруппу [12]. Эта конструкция, в свою очередь, оказалась чрезвычайно полезной для приложений в разных областях математики: от теории чисел и алгебры до динамики и эргодической теории. 

Первым примером такого приложения — в свое время я заинтересовался этой областью под его впечатлением — было короткое доказательство знаменитой теоремы Хиндмана [13] о конечных суммах. Это утверждение с очень простой формулировкой, понятной школьнику: в любом разбиении натурального ряда чисел на конечное число кусков есть кусок, содержащий бесконечную последовательность со всеми конечными суммами ее различных элементов. 

Хиндман вначале доказал эту теорему запутанным комбинаторным методом (мне как-то довелось услышать от него забавную фразу: «Я никогда не понимал своего доказательства»), но вскоре нашел совсем короткое и интуитивно понятное доказательство, основанное на том, что полугруппа ультрафильтров, расширяющая полугруппу натуральных чисел со сложением, содержит идемпотенты [14]. Нужным куском разбиения будет тот, который принадлежит идемпотентному ультрафильтру. 

Этот пример — образец для целого ряда доказательств более сложных результатов. Если попытаться неформально пояснить, в чем их суть, можно сказать, что ультрафильтры играют роль своего рода идеальных элементов рассматриваемой структуры, кодирующих ее свойства, и в каких-то случаях оказывается, что сложное свойство структуры кодируется простым свойством ультрафильтра (таким, как идемпотентность), с которым легче иметь дело.  

Теперь закончу о своей текущей работе. Полтора десятка лет назад я показал, что любые функции и отношения — не только от двух, но от любого конечного числа переменных — расширяется ультрафильтрами каноническим (в определенном смысле) образом; иными словами, что произвольная модель первого порядка канонически расширяется до модели, состоящей из ультрафильтров над исходной моделью [15]. В настоящий момент я изучаю возникающие при таких расширениях порядки на ультрафильтрах и их дальнейшие обобщения. 

— С какими объектами имеет дело математическая логика?

— Математическая логика в узком смысле слова имеет дело с формальными языками, пригодными для описания математических теорий, их синтаксисом и семантикой. Она сама является частью математики, только ее исчисления оперируют не числами, а синтаксическими объектами, такими как формулы и доказательства. Математическая логика в широком смысле слова включает много областей: теорию моделей, теорию рекурсии, теорию доказательств, модальные логики… Да и теорию множеств тоже относят к математической логике. 

— Разве не теория множеств должна включать в себя математическую логику? 

— С одной стороны, да — в том смысле, что теория множеств включает вообще всё: как я сказал, на ее языке можно описать любую математическую концепцию. С другой — поскольку логика изучает теории в формальных математических языках, формализованная тем или иным способом теория множеств тоже является предметом ее изучения. Это положение дел на первый взгляд может показаться парадоксальным, но вспомним, что (как известно со времени Тарского [16]) мы должны различать рассматриваемую теорию и «метатеорию», на языке которой мы говорим о ней; выше в одном случае мы понимали теорию множеств как метатеорию, в другом — как рассматриваемую теорию.

— В России математической логикой многие занимаются? 

— Да, некоторые ее области в России хорошо представлены. В первой половине и середине прошлого века у нас были такие замечательные математики, как, например, Новиков или Мальцев [17], получившие фундаментальные результаты математической логики, теории моделей и алгебры. И сейчас многие занимаются, скажем, теорией доказательств, теорией рекурсии, модальной и неклассической логикой. Хотя, говоря «многие», нужно иметь в виду, что логиков вообще очень немного в сравнении со всеми специалистами по фундаментальной математике, а последних — в сравнении с физиками или биологами. 

— А как теория множеств развивается в России?

— На этот вопрос можно ответить коротко: никак, в России ей никто не занимается; это немного странно, но так исторически сложилось. За исключением одного направления. Был такой замечательный математик, я уже упоминал его, Николай Лузин, наверное слышали о нем?

— Конечно, создатель московской математической школы…

— Которая потом сыграла зловещую роль в его жизни, в так называемом «деле Лузина»… Так вот, Лузин — один из создателей «дескриптивной теории множеств» — ветви теории множеств, которая изучает определимые множества [18]. Еще в начале ХХ века он получил выдающиеся результаты в этой области, в частности открыл (вместе с Серпинским [19]) проективные классы. Ученики Лузина, например Александров, Суслин [20], Ляпунов, Людмила Келдыш [21] и особенно Новиков, внесли большой вклад в эту область; сейчас, как я понимаю, остался ровно один, правда, замечательный представитель этой школы — Кановей [22].

Но это единственная ветвь теории множеств, представленная в России; кардинальная арифметика, большие кардиналы, теоретико-модельная сторона и т. д. — все это прошло мимо российской математики. Более того, с некоторого времени популярной стала точка зрения на теорию множеств как нечто базовое, примитивное и ненужное для пресловутой «обычной математики». Анекдотический пример: поступая на работу в ИППИ РАН, я должен был нанести визит замдиректора по науке, крупному математику, ныне покойному. Услышав о моих математических интересах, он изумился: «Что же вас заставило заниматься такой устаревшей областью науки?» Это не вина этого замечательного ученого, их так учили. Социолог описал бы это в терминах культурной отсталости.

— Получается, вы в рамках своей специализации общаетесь в основном с зарубежными коллегами? 

— Ну да, соавторы моих работ по теории множеств не из России, например Ховард [23], Шелах [24]… Последнему я скоро должен нанести рабочий визит (на этот раз виртуальный), может получится закончить что-то из наших недописанных работ. Шелах — это великий логик из Иерусалима, которому принадлежит какое-то невероятное число результатов в теории множеств и в теории моделей, где он открыл целые направления (например, теорию классификации в теории моделей, pcf-теорию в кардинальной арифметике). Кроме того, он замечателен невероятным количеством работ, возможно рекордным для всей математики, если он уже превзошел рекорд Эрдёша [25]. Я бы сравнил его с Эйлером [26]. 

К вопросу о непопулярности математики вспоминаю, как я пытался в Базеле найти дом, где Эйлер родился: ни один спрошенный швейцарец не имел представления, кто это. У нас ситуация не лучше; власти Петербурга, в котором Эйлер работал бóльшую часть жизни и был похоронен, отвергли все предложения математиков назвать в честь ученого площадь или улицу; в России до сих пор нет ни одного топонима, названного в честь Эйлера. 

— А в истории математики у вас есть любимые персонажи? 

— Я бы назвал двух математиков как раз из своей области, которых по степени оригинальности и последующего влияния их идей даже сравнить не с кем. Собственно, я уже упоминал обоих. 

Первый — Георг Кантор, создатель теории множеств. К слову, он родился в Петербурге. Я слышал, что математики долго добивались от городской администрации разрешения повесить табличку на дом, где родился Кантор; в итоге разрешили повесить ее только со стороны двора, чтобы не было видно с улицы, — та же ситуация, что и с Эйлером. 

Открытия Кантора настолько фундаментальны, что трудно сопоставить их с открытиями кого-либо еще, разве что Ньютон приходит в голову [27]. Понятие вполне упорядоченного множества [28], «диагональный аргумент» — глубочайшие базовые вещи, возможно даже более глубокие, чем производная и интеграл; их прообразы можно найти еще в античности (в таких вещах, как, соответственно, метод бесконечного спуска и парадокс лжеца), но выделить их в чистом виде смог только Кантор. То же самое относится к понятию мощности (или кардинального числа) множества и сравнению мощностей, о чем я уже упоминал. Идеи Кантора, не всеми его современниками встреченные с энтузиазмом, за короткое время полностью изменили современную математику. 

Второй — Курт Гёдель [29], тоже совершенно беспримерный человек. Эйнштейн про него говорил, что это первый логик такого масштаба со времен Аристотеля; мне кажется, что он превосходит и Аристотеля. Фактически он создал современную логику. 

— Сразу вспоминается, конечно, его знаменитая теорема о неполноте… 

— Этих теорем две на самом деле. Как известно, рассуждение там близко к парадоксу лжеца и упомянутому диагональному аргументу Кантора. Другой гениальный прием, который Гёдель использовал там, это придуманная им арифметизация синтаксиса, то есть способ кодировать синтаксис рассматриваемой теории внутри нее самой; далекий предшественник этой идеи есть у Лейбница [30]. Кроме теорем о неполноте, Гёделю принадлежит еще теорема о полноте, доказанная годом ранее, менее известная среди нематематиков, но не менее фундаментальная — одна из основ логики первого порядка и теории моделей. Кстати, Гёдель доказал ее только для счетной мощности; в общем виде для произвольных мощностей она была доказана шестью годами позже Мальцевым. Еще один фундаментальный его результат — построение так называемого конструктивного универсума множеств, наименьшей внутренней модели теории множеств, и доказательство того, что в нем выполняется обобщенная континуум-гипотеза. 

Есть еще ряд глубоких и неожиданных результатов Гёделя в разных областях, которые не стану пытаться перечислить — от возможности замкнутых времениподобных кривых в теории относительности (этот результат он опубликовал к юбилею своего друга Эйнштейна) до формализации онтологического доказательства Лейбница в теологии, восходящего еще к Ансельму Кентерберийскому [31]. По взглядам Гёдель был последовательным платонистом, и современный взгляд на аксиомы больших кардиналов как истинные утверждения, способные решать проблемы, нерешаемые более слабыми методами, находится в русле его взглядов. 

— Какая школа сформировала вас как математика? 

— Мое научное происхождение необычно: я вообще не из математики. Скажу несколько слов о своих ранних занятиях. 

В детстве и в юности я занимался музыкой, точнее композицией; учился в Центральной музыкальной школе при Московской консерватории, потом в самой Консерватории. Туда я поступил на теоретико-композиторскую кафедру, которая в то время состояла из двух отделений: теории музыки и композиции, причем я, будучи композитором, решил поступать на отделение теории музыки, чтобы не иметь дело с консерваторскими бездарными и абсолютно безграмотными композиторами, с которыми приходилось сталкиваться еще в школе. 

Это было уже позже того времени, когда из Консерватории могли исключить за чтение партитуры, например, Стравинского [32] или другой запрещенной в советское время музыки, но не намного позже; современных нот достать было почти невозможно, а на композиторском отделении работали только «идеологически правильные» люди, научиться у которых можно было разве что конформизму. Хорошо известно, например, что Эдисону Денисову [33] было запрещено преподавать в Консерватории композицию, до конца 1980-х годов он мог вести только инструментовку. 

Тут замечу к слову, что в то время критическое положение в нашем музыкальном образовании было не только с современной музыкой, но и с любой вплоть до XVIII века включительно, в то время как на Западе давно играли музыку всех эпох, расцвело исторически информированное исполнительство, были сделаны классические записи с Арнонкуром [34], Пинноком [35] и т. д., у нас играли и знали в основном романтическую музыку XIX века, а о большинстве более ранних и поздних композиторов и не слыхали (редким исключением были, например, просветительские концерты князя Волконского [36] до его отъезда, Любимова [37] и других участников «Мадригала»). Даже взять в библиотеке нужную кантату Баха было невозможно. Это положение стало выправляться только после того, как Любимов с несколькими единомышленниками в 1997 году создали в консерватории факультет исторического и современного исполнительского искусства.

В теоретическом отделении положение было лучше, чем в композиторском: там был знаменитый Холопов [39]. Я занимался у него еще в школе и благодаря ему и его ученикам имел возможность знакомиться с новыми сочинениями Шнитке [40], Денисова и др. почти сразу, когда они появлялись. Вот к школе Холопова я и принадлежу, но вы, конечно, спрашивали о другом. 

— Вы до сих пор сочиняете музыку? 

— Мои музыкальные занятия давно не столь интенсивны из-за математических, но в принципе да, я профессиональный композитор. Я занимался также специально музыкой эпохи барокко; в частности реконструкциями некоторых утерянных или неоконченных произведений. 

— Но как же вы из музыки перешли в математику? Как музыкант становится математиком? 

— Других таких случаев я не знаю. Есть обратный случай: Денисов окончил университет как математик (специализируясь на функциональном анализе, если не путаю), но затем занимался исключительно композицией. У меня есть также несколько друзей-математиков, которые, не являясь профессиональными музыкантами, неплохо разбираются в музыке. Что касается меня лично, на первом курсе я заинтересовался некоторыми вопросами теории музыки, которые привели меня к одной идее, имеющей математический вид. Я поделился ей с Холоповым, который немедленно сказал мне, что это или нечто близкое придумал Эйлер (тогда только что перевели с латинского один его трактат по теории музыки). 

Последствия были такие. Во-первых, я решил посоветоваться насчет этой идеи с математиками. Так я познакомился с Мощевитиным [41], с которым мы вскоре стали близкими друзьями. Во-вторых, заинтересовавшись уже чисто математической стороной, я стал знакомиться с литературой и прочел свою первую книжку по серьезной математике, это было старомодное, но приятное «Введение в теорию множеств и общую топологию» Александрова. Дальше меня уже интересовали разные конкретные научные задачи, я стал читать литературу по теории множеств — тут я автодидакт, но это и не очень удивительно, учитывая, что в России ей не занимаются, — потом писать свои работы и т. д. 

— Математика вас как-то изменила? Как она повлияла на вас?

— Возможно, какое-то положительное влияние есть. С другой стороны, она отнимает много внимания, и мне жаль, что из-за этого разные музыкальные планы остаются нереализованными. 

— Посоветуйте, как увлечь детей математикой? Какие вещи в математическом образовании хорошо работают? 

— Не знаю, я никогда не учил детей. Вообще я не люблю преподавать, а когда мне случалось читать спецкурсы, на них ходили старшекурсники и аспиранты — взрослые мотивированные люди… Говорят, что дети плохо воспринимают абстрактное, им нужно что-то наглядное. В современной математике есть очень наглядные и красивые вещи; скажем различные — периодические и апериодические — замощения плоскости, такие как мозаики Фодерберга [42] и Пенроуза [43], клеточные автоматы вроде известной игры «Жизнь» Конвея [44]… Возможно, дети будут увлечены их красотой и со временем захотят узнать о стоящей за ними математике. Замечу еще, что в лаборатории популяризации и пропаганды математики Математического института имени В. А. Стеклова РАН есть множество интересных проектов, которые могут заинтересовать детей, да и взрослых тоже.  

— Есть ли у вас, помимо двух профессиональных занятий, хобби? 

— Я немного занимаюсь верховой ездой и, из более академических занятий, скандинавистикой, точнее древнеисландской литературой. Вместе с некоторыми другими членами нашего Варяжского клуба во главе с Федором Успенским [45] мы перевели, прокомментировали и совсем недавно издали «Первый грамматический трактат», выдающийся памятник древнеисландский ученой мысли второй половины XII века, автор которого предвосхитил некоторые идеи современной фонологии, принадлежащие князю Трубецкому. Забавно, что наша книга вышла в издательстве МЦНМО, выпускающем книги по математике.

Денис Савельев и редакция «За науку» благодарят Андрея Соболевского за помощь в работе с интервью.

 

[1] Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1845–1918) — великий немецкий математик, создатель теории множеств, автор фундаментальных результатов в этой области.

[2] Кардинальное число множества, или его мощность, — понятие, обобщающее понятие числа элементов конечного множества (например, множество всех сторон монеты имеет мощность 2). Два множества имеют одинаковую мощность, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Это определение осмыслено и для бесконечных множеств. Так, мощность множества всех натуральных чисел равна мощности его подмножества, состоящего из всех четных чисел; то, что часть бесконечного множества может иметь «то же число элементов», что и всё множество целиком, было известно еще Галилею (Галилео Галилей (1564–1642) — великий итальянский физик, астроном, философ и математик). Это наименьшее бесконечное кардинальное число. Классическая теорема Кантора говорит, что множество всех вещественных чисел имеет мощность, строго бóльшую мощности всех натуральных.

[3] Фридрих Людвиг Готлоб Фреге (1848–1925) — выдающийся немецкий логик, математик и философ.

[4] Граф Бертран Артур Уильям Рассел (1872–1970) — известный британский логик, математик и философ. Речь идет о свойстве «не принадлежать самому себе». Оно дает множество, о котором нельзя решить, принадлежит ли оно самому себе. Известен ряд близких парадоксов, использующих повседневные понятия, например «парадокс брадобрея» (спрашивающий, бреет ли сам себя брадобрей, бреющий всех жителей своего города, кто не бреется сам).

[5] Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (1871–1953) — выдающийся немецкий математик, специалист в теории множеств. Адольф Абрахам Галеви Френкель (1891–1965) — известный немецко-израильский математик, специалист по теории множеств и основаниям математики. 

[6] Дональд Энтони Мартин (р. 1940), Джон Роберт Стил (р. 1948), Уильям Хью Вудин (р. 1955) — выдающиеся американские математики, специалисты в теории множеств.

[7] Николай Николаевич Лузин (1883–1950) — выдающийся русский математик, специалист в теории функций, дескриптивной теории множеств.

[8] Эмиль Генрих Дюбуа-Реймон (1818–1896) — известный немецкий физиолог.

[9] Давид Гильберт (1862–1942) — великий немецкий математик, внесший фундаментальный вклад почти во все области математики.

[10] Фильтр над множеством — семейство его подмножеств, содержащее конечные пересечения своих элементов и их надмножества; неформально говоря, подмножество, принадлежащее фильтру, «большое» в некотором смысле. Если фильтр таков, что для всякого подмножества либо оно, либо его дополнение оказывается «большим», он называется ультрафильтром.

[11] Маршалл Харви Стоун (1903–1989) — выдающийся американский математик, специалист в области анализа, булевых алгебр, математической физики. Эдуард Чех (1893–1960) — выдающийся чешский тополог.

[12] Полугруппа — множество с двухместной операцией (то есть функцией двух переменных, определенной на этом множестве и принимающей значение в нем же), удовлетворяющей закону ассоциативности (называемому также сочетательным законом). Например, множество натуральных чисел как с операцией сложения, так и с операцией умножения образует полугруппы (а с операцией возведения в степень — нет). Полугруппы изучаются в алгебре, но используются в самых разных областях математики, в том числе в эргодической теории.

[13] Нил Хиндман (р. 1943) — выдающийся американский математик, специалист по теории ультрафильтров и ее приложениям в алгебре и комбинаторике (теории Рамсея).

[14] Идемпотент полугруппы — ее элемент, не изменяющийся при действии операции. Например, в полугруппе натуральных чисел со сложением идемпотентом является нуль, а с умножением — единица.

[15] Модель первого порядка — множество с произвольными операциями и отношениями на нем, классический объект математической логики. Примерами моделей служат полугруппы, группы, поля и другие классические структуры алгебры, упорядоченные множества, модели арифметики или теории множеств и др. Утверждения, выполняющиеся в данной модели, образуют ее полную теорию; в некоторых случаях эта теория поддается аксиоматизации относительно простым способом (например, с помощью конечного списка аксиом), в других (например, для моделей арифметики) оказывается слишком сложной для этого.

[16] Альфред Тарский (1901–1983) — великий польский математик, один из создателей математический логики, прежде всего теории моделей.

[17] Пётр Сергеевич Новиков (1901–1975), Анатолий Иванович Мальцев (1909–1967) — выдающиеся математики, специалисты по логике и алгебре.

[18]  Множества, которые можно определить некоторыми формулами, или построить при помощи некоторых явных процедур.

[19] Вацлав Францишек Серпинский (1882–1969) — выдающийся польский математик, специалист в теории множеств, теории чисел, топологии.

[20] Михаил Яковлевич Суслин (1894–1919) — выдающийся математик, специалист по теории множеств.

[21] Людмила Всеволодовна Келдыш (1904–1976), Алексей Андреевич Ляпунов (1911–1973) — известные математики, специалисты по дескриптивной теории множеств и теории функций.

[22] Владимир Григорьевич Кановей (р. 1951) — известный специалист по дескриптивной теории множеств.

[23] Пол Ховард (р. 1943) — известный американский математик.

[24] Сахарон Шелах (р. 1945) — великий израильский логик, получивший фундаментальные результаты в теории множеств и теории моделей.

[25] Пал Эрдёш (1913–1996) — выдающийся венгерский математик, работавший в различных областях, включая комбинаторику, теорию чисел, теорию множеств, теорию вероятностей и др.; известен рекордным количеством как статей, так и соавторов, породившим феномен «числа Эрдёша» — длины кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям. У Дениса Савельева число Эрдёша равно двум: общим соавтором его и Эрдёша является как раз С. Шелах.

[26] Леонард Эйлер (1707–1783) — швейцарский математик, большую часть жизни работавший в Пруссии и России, считается одним из величайших математиков в истории, автор фундаментальных работ по математическому анализу, теории чисел, небесной механике, оптике, гидромеханике, теории музыки и многим другим областям. Внес исключительный вклад в становление российской науки.

[27] Сэр Исаак Ньютон (1642–1727) — великий английский физик, математик, механик и астроном; один из создателей классической физики и математического анализа.

[28] Вполне упорядоченное множество — множество с отношением порядка на нем, в котором всякое непустое подмножество имеет наименьший элемент.

[29] Курт Фридрих Гёдель (1908–1978) — великий австрийский математик, один из создателей математической логики.

[30] Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — великий немецкий философ, логик, математик, физик, лингвист; один из создателей математического анализа.

[31] Св. Ансельм Кентерберийский (1033–1109) — богослов и философ.

[32] Игорь Фёдорович Стравинский (1882–1971) — великий русский композитор.

[33] Эдисон Васильевич Денисов (1926–1996) — один из наиболее выдающихся композиторов второй половины XX века.

[34] Граф Иоганн Николаус де ла Фонтен и д’Арнонкур-Унферцагт (1929–2016) — австрийский виолончелист, гамбист и дирижер, один из основателей исторического исполнительства.

[35] Тревор Пиннок (р. 1946) — выдающийся британский клавесинист и дирижер.

[36] Князь Андрей Михайлович Волконский (1933–2008) — выдающийся композитор и клавесинист.

[37] Алексей Борисович Любимов (р. 1944) — выдающийся пианист, клавесинист и органист, основатель российского исторического исполнительства.

[38]  Иоганн Себастьян Бах (1685–1750) — немецкий композитор эпохи позднего барокко, считающийся величайшим композитором в истории. Принадлежит к известному в XVI–XIX веках разветвленному роду Бахов, давшему многих выдающихся композиторов.

[39] Юрий Николаевич Холопов (1932–2003) — выдающийся теоретик музыки.

[40] Альфред Гарриевич Шнитке (1934–1998) — один из наиболее выдающихся композиторов второй половины XX века.

[41] Николай Германович Мощевитин (р. 1967) — известный специалист в теории чисел.

[42] Хайнц Фодерберг (1911–1945) — немецкий геометр.

[43] Сэр Роджер Пенроуз (р. 1931) — выдающийся британский физик и математик.

[44] Джон Хортон Конвей (1932–2020) — известный британский математик, специалист по конечным группам, теории игр и др.

[45] Фёдор Борисович Успенский (р. 1970) — известный российский филолог и лингвист.

При поддержке гранта Минобрнауки России в рамках федерального проекта «Популяризация науки и технологий» № 075-15-2024-571 и всемерной поддержке Физтех-Союза.