Этторе Майорана и его уравнение

В феврале 2025 года компания Microsoft заявила, что создала квантовый вычислитель на базе майорановских фермионов — научная группа компании выпустила статью в журнале Nature, а пресс-служба достучалась чуть ли не до всех крупных изданий. Однако научное сообщество, как и прежде, сомневается, что машина, на которой Microsoft пытается вклиниться в «квантовую гонку», заслуживает столь громкого приема. А пока вопрос о статусе Majorana 1 продолжает обсуждаться, Алексей Левин рассказывает, кто такой Этторе Майорана и как возникли частицы, носящие его имя.

Начало этой истории может поспорить с античной трагедией. 26 марта 1938 года 31-летний профессор Неапольского университета Этторе Майорана сел в Палермо на пароход до Неаполя. Однако там он не появился, и вообще с тех пор его никто не видел.

Майорана был очень странной личностью. Инженер по образованию, он прошел школу Энрико Ферми и стал блестящим теоретиком, который оставил яркий след в атомной и ядерной физике, теории твердого тела и теории элементарных частиц. Профессура по теорфизике, которую он получил в начале 1938 года в Неаполе, стала второй в Италии — первая в 1927 году была учреждена специально для Ферми.

Майорана, блестящий математик и человек с тонкой физической интуицией, очень критично относился к собственным исследованиям и редко публиковался: всего девять статей с 1928 по 1937 год, что очень мало для теоретика такого класса. Убежденный католик и интеллектуал, он, однако, благожелательно отнесся к гитлеровскому режиму в Германии, а в Италии вступил в фашистскую партию. Был крайним интровертом, страдал гипертрофированной склонностью к одиночеству и приступами депрессии, хотя никогда не был признан душевнобольным. В общем, человек-загадка, чье поведение никто не мог ни предсказать, ни объяснить.

«По степени одаренности у Майораны не было соперников во всем мире,— сказал однажды о нем Ферми.— К сожалению, он был лишен качества, которым остальные обычно обладают,— простого здравого смысла».

За несколько месяцев до исчезновения Майорана опубликовал свою последнюю статью, причем, скорее всего, сделал это только по настоянию Ферми. Эту работу и сегодня считают крупным вкладом в фундаментальную физику. Она содержит названное его именем уравнение, которое предсказывает возможность квантовых частиц с парадоксальными свойствами, до сих пор не открытых в эксперименте.

От Шрёдингера до Дирака

Однако начать следует не с 1937-го, а 1926 года, когда профессор Цюрихского университета Эрвин Шрёдингер задумался об описании динамики элементарных частиц с помощью методов математического анализа. Он пришел к дифференциальному уравнению в частных производных, которое стало главным инструментом нерелятивистской квантовой механики. Чтобы записать его для одной свободной частицы, надо перевести на квантовый язык элементарное уравнение ньютоновской механики, согласно которому кинетическая энергия частицы равна отношению квадрата ее импульса к удвоенной массе. Для этого на место энергии и импульса ставятся специальные преобразования волновой функции, так называемые дифференциальные операторы.

В результате получается уравнение, решения которого определяют динамику частицы. Если она не свободна, в уравнение добавляются те или иные силовые поля, но это уже детали.

Здесь есть одна тонкость. Уравнение Шрёдингера описывает частицу, которая не имеет собственного углового импульса, спина. Однако в 1926 году уже было известно, что спин у электрона есть, он равен половине постоянной Планка, деленной на 2𝝿.

Проекция спина свободного электрона на любое направление имеет два различных значения, которые равны по абсолютной величине, но отличаются знаком. Можно представить, что ось электронного волчка ориентируется в пространстве лишь двумя противоположными способами. Через год аналогичное свойство было обнаружено и у протонов, а швейцарский теоретик Вольфганг Паули обобщил уравнение Шрёдингера для электрона таким образом, чтобы оно учитывало спин. Для этого вместо одной волновой функции он ввел пару функций, записанных в виде столбца, и снабдил уравнение Шрёдингера тремя квадратными матрицами.

Однако Шрёдингер хотел начать с квантовой переформулировки не ньютоновской механики, а механики специальной теории относительности. У Эйнштейна формула для энергии свободной частицы выглядит сложнее, нежели у Ньютона. В нее входит не сама энергия, а ее квадрат: E² = m²c⁴ + p²c² (Е — энергия частицы, m — ее масса, p — импульс, а c — скорость света). Отсюда следует, что и квантовый оператор энергии надо возвести во вторую степень, а это чревато множеством затруднений.

Перевести эйнштейновскую формулу в квантовое уравнение несложно, но решения такого уравнения показывают, что вероятность нахождения частицы в определенной точке может оказаться отрицательной, что не имеет физического смысла. Возникают и другие неприятности, обусловленные тем, что математическая структура этого уравнения расходится со специальной теорией относительности.

Шрёдингер воздержался от публикации этой работы и сконцентрировался на нерелятивистской теории. А его первое уравнение независимо друг от друга и разными способами переоткрыли шведский физик Оскар Клейн и немец Вальтер Гордон. Их имена оно с тех пор и носит. В 1934 году Вольфганг Паули и Виктор Вайскопф показали, что его можно разумно интерпретировать как способ описания не свободных частиц, а квантовых полей с нулевым спином. Но это уже совсем другая история.

А проблема адекватного релятивистского описания атомных частиц, и прежде всего электронов, никуда не делась и настоятельно требовала решения. Над ней в 1927 году задумался Поль Адриен Морис Дирак, 25-летний теоретик из Кембриджского университета, уже тогда — великий создатель нерелятивистской квантовой механики и квантовой теории излучения. Он понял, что для сохранения лоренц-инвариантности в уравнение электрона должны войти не квадраты операторов энергии и импульса, а их первые степени. Чтобы записать уравнение для электрона в таком виде, пришлось изначально ввести в него более сложные, чем у Паули, матрицы размерности 4 х 4, так называемые гамма-матрицы. В результате получилось очень красивое уравнение весьма непривычного для тогдашней физики вида.

Новаторский подход Дирака себя оправдал: из его уравнения для свободного электрона автоматически вытекало наличие спина той самой величины, которая уже была надежно установлена. А объединение этого уравнения с уравнениями электромагнитного поля обязывало электрон обладать и собственным магнитным моментом. Это был огромный успех релятивистской квантовой теории электрона.

Это странное уравнение

Найденные Дираком решения несколько лет считались эталонными. Но в 1937 году Этторе Майорана опубликовал статью с очень оригинальной модификацией дираковского уравнения — он воспользовался тем обстоятельством, что дираковские гамма-матрицы должны удовлетворять некоторым алгебраическим соотношениям, но в остальном выбор их конкретного вида (на формальном языке, представления) произволен. Пользуясь этой свободой, он заполнил все четыре матрицы только мнимыми единицами и нулями (у Дирака там фигурируют также действительные единицы). Поскольку в уравнении Дирака каждая из этих матриц умножается на мнимую единицу, у Майораны получились полностью действительные гамма-матрицы.

Выбор такого представления для гамма-матриц оказался делом столь же новым, сколь и нетривиальным. Он позволил получить решения, где фигурируют квантовые поля, которые описываются не комплексными, а действительными функциями. В этом уравнение Майораны отличается от уравнения Дирака с его комплексными электронно-позитронными полями, однако демонстрирует сходство с уравнением Клейна—Гордона, уравнениями Максвелла и уравнениями гравитационного поля, которые фигурируют в эйнштейновской общей теории относительности.

Поначалу уравнение Майораны привлекало внимание коллег только из-за необычного вида гамма-матриц. О его физическом смысле физики стали думать только через пару десятилетий. Тогда и было понято, что оно описывает электрически нейтральные частицы с половинным спином, которые подчиняются квантовой статистике Ферми—Дирака (и потому их называют майорановскими фермионами), однако лишены таких атрибутов, как электрический заряд и, возможно, масса. Частицы с подобными свойствами были известны теоретикам под именем нейтрино. Поэтому уравнение Майораны выглядело просто идеальным кандидатом на роль математической структуры, как нельзя лучше подходящей для их описания.

Другая особенность уравнения Майораны состоит в том, что оно, в противоположность дираковскому, сохраняет симметрию правосторонней и левосторонней ориентации (так называемая киральная симметрия). На пальцах это объяснить не так просто, так что на этом аспекте я останавливаться не буду.

Нейтрино очень долго (и до, и после детектирования в 1956 году) считались безмассовыми частицами, которые, как и фотоны, могут двигаться в вакууме только со скоростью света. Сейчас известно, что они все же обладают массой, хотя и очень небольшой. Точная величина массы трех известных разновидностей нейтрино (электронного, мюонного и тау-нейтрино) пока не установлена, однако, по последним данным, нейтрино как минимум на шесть порядков легче электрона.

Уравнение Майораны имеет еще одну интересную черту. Частицы, которое оно описывает, могут быть полными копиями своих античастиц. Это свойство отнюдь не уникально (например, именно таковы фотоны и незаряженные пионы), причем оно может реализоваться и при нулевой, и при ненулевой массе. Напротив, в дираковской теории электроны и позитроны это разные частицы, хотя и со строго одинаковой массой.

Нейтрино, которые тождественны своим антиверсиям (так называемые майорановские нейтрино, они же просто майораны) пока не обнаружены в эксперименте, однако не исключено, что когда-то они в изобилии существовали в природе. Сегодня эта гипотеза играет важную роль в теории, объясняющей космическую асимметрию между материей и антиматерией, о которой мы поговорим в следующем разделе.

Замечательное уравнение Майораны заслуживает подробного анализа, однако он невозможен без привлечения серьезной математики. Поэтому ограничусь только одной иллюстрацией, которую можно описать простыми словами. У Дирака электрону и позитрону соответствуют два разных уравнения. При этом, если четырехкомпонентная волновая функция электрона, так называемый дираковский спинор, обладает левосторонней ориентацией, то у позитрона она будет правосторонней (конечно, верно и обратное). Уравнение Майораны, напротив, объединяет электрон и позитрон в единой математической структуре — отсюда и его название «Симметричная теория электрона и позитрона».

Майорановские нейтрино и судьба антиматерии

Пока нейтрино считались частицами с нулевой массой, теоретики не испытывали с ними больших проблем. А вот когда оказалось, что масса у них имеется, жизнь стала куда интересней.

Если бы нейтрино было безмассовым, вопрос о том, отличается оно от своей античастицы или совпадает с ней, не имел бы смысла (как он не имеет смысла для фотонов). А вот наличие массы означает, что возможны оба варианта. В первом случае нейтрино называется дираковским, во втором, как уже говорилось, майорановским. И как на этот счет распорядилась природа, пока не ясно.

Вот что отсюда следует. В теории элементарных частиц существует такое понятие, как лептонное число, разность общего числа лептонов и антилептонов в данной физической системе. Ранее эксперименты показывали, что лептонные числа (они же лептонные заряды) строго сохраняются во всех ядерных реакциях. Однако в конце прошлого столетия в космическом пространстве были обнаружены взаимные превращения нейтрино разных видов (на языке физики, поколений), так называемые нейтринные осцилляции.

После этого стало ясно, что как минимум на уровне поколений сформулированный еще в 1953 году принцип сохранения лептонных зарядов не работает. Однако теория утверждает, что дираковские частицы должны ему полностью подчиняться. А вот для майорановских нейтрино он может соблюдаться лишь приближенно, и, следовательно, допускать нарушения.

Если это так, то несохранение лептонных чисел в принципе можно обнаружить посредством прямых экспериментов. Известно даже, где его искать. Есть такой внутриядерный процесс, двойной бета-распад, который в 1935 году был впервые теоретически рассмотрен не кем иным, как Майораной.

В отличие от известного с конца XIX века классического бета-распада, в этом случае не один, а сразу два нейтрона превращаются в протоны, испуская пару электронов и пару антинейтрино. Эти превращения случаются только в самых долгоживущих изотопах с периодом полураспада как минимум порядка 1019 лет (Майорана оценил этот минимум в 1017 лет, почти не ошибся!) и потому происходят чрезвычайно редко, но все же случаются и детектируются.

Согласно некоторым теоретическим моделям, у этого процесса есть другая версия — двойной безнейтринный бета-распад. Здесь опять-таки заряд ядра подскакивает на две единицы (иными словами, происходит сдвиг исходного элемента на две позиции вправо на таблице Менделеева), однако с испусканием одних лишь электронов. Примером такого процесса мог бы быть переход германия-76 в селен-76 и пару электронов. Поскольку на входе здесь вообще нет лептонов, а на выходе рождаются два полноценных электрона, ясно, что при таком распаде лептонное число возрастает на два. В обычном двойном бета-распаде оно сохраняется, так как заряд пары антинейтрино равен –2.

Двойной безнейтринный бета-распад пока не обнаружен, хотя его ищут на нескольких подземных детекторах. Если эти усилия увенчаются успехом, это будет куда более убедительной демонстрацией несохранения лептонных чисел, нежели нейтринные осцилляции. Такой результат стал бы сильным аргументом в пользу того, что электронное нейтрино (в бета-распадах испускаются именно они) — майорановская частица. Возможно, то же самое окажется справедливым и для мюонного и таонного нейтрино.

Пойдем дальше. Во всех экспериментах наблюдается только нейтрино, у которых спин по направлению противоположен импульсу — такие частицы называют левовинтовыми. У антинейтрино спин смотрит в ту же сторону, что и импульс — это правовинтовые частицы. Правовинтовые нейтрино и левовинтовые антинейтрино обнаружены не были. Но если бы нейтрино подчинялось уравнению Майораны, оно могло бы проявлять себя и как частица с правой ориентацией. Как я только что отметил, физике такие нейтринные версии не известны, но это не фатально. Например, можно предположить, что из-за гигантской массы порядка 1014–1015 ГэВ они рождались лишь в составе сверхгорячей материи, существовавшей в первые мгновения после завершения космологической инфляции. Это было так называемое термальное рождение вещества, обеспеченное гигантской тепловой энергией кварк-глюонной плазмы. При этом, согласно большинству теоретических схем, они не участвовали в слабых взаимодействиях с частицами Стандартной Модели. Когда в процессе расширения Вселенной температура первичной плазмы достаточно упала, эти стерильные нейтрино перестали рождаться и больше уже не возникали. Будучи крайне нестабильными из-за своей гигантской массы, они быстро распадались на частицы Стандартной Модели, увеличивая их плотность. Конечно, для того чтобы этот сценарий был возможен, необходимо, чтобы в ту космологическую эпоху скорость расширения Вселенной, которую задавал параметр Хаббла, была выше темпа распада стерильных нейтрино.

И вот тут-то начинается самое интересное. Согласно ряду теоретических моделей, стерильные нейтрино должны были в основном превращаться в бозоны Хиггса и различные лептоны, включая и обычные, активные нейтрино. В этих реакциях не сохранялись лептонные числа, и потому они могли порождать больше электронов, нежели позитронов. Аналогично, число новорожденных активных нейтрино не обязано совпадать с числом антинейтрино. В результате у тогдашней Вселенной появилось ненулевое лептонное число, которое после полного распада всех стерильных частиц практически не изменилось (т. н. макроскопическая лептонная асимметрия).

Этот гипотетический процесс называется лептогенезом. Для его успеха необходимо еще несколько условий, но это уже тонкие детали для специалистов. Например, согласно наиболее правдоподобным моделям, для работы механизма лептогенезиса необходимы как минимум два различных стерильных нейтрино, а их массы должны быть не меньше 1010–1012 ГэВ. Теория также допускает производство лептонной асимметрии и при массах стерильных нейтрино в диапазоне 102–109 ГэВ (возможно, даже и меньших), но для этого требуются дополнительные факторы, которых я не буду касаться.

Предположим, что лептогенез тем или иным образом запущен. Согласно все тем же моделям, этим дело не кончилось. Взаимодействие между оставшимися после нейтринных распадов лептонами сверхвысоких энергий могло привести к появлению кварков и антикварков, которые ранее еще не существовали. Это уже бариогенез, возникновение протонов и нейтронов. Существуют правдоподобные сценарии, в которых дисбаланс лептонов и антилептонов оборачивается избытком кварков над антикварками и, следовательно, барионов над антибарионами. Согласно этому сценарию, потом случилась так называемая Великая Аннигиляция, которая уничтожила антиматерию. В результате во Вселенной возникла барионная асимметрия — преобладание вещества над антивеществом. Этот механизм, так называемый бариогенез через лептогенез, позволяет объяснить дефицит антиматерии в нашей Вселенной, по крайней мере в первом приближении.

Многие физики считают, что на сегодня модель с участием тяжелых стерильных нейтрино обеспечивает наилучшие шансы для понимания абсолютного преобладания материи над антиматерией в нашей Вселенной (конечно, есть и другие теории). При этом гипотетическое рождение активных нейтрино Стандартной Модели при распаде стерильных частиц позволяет довольно правдоподобно объяснить их ничтожную массу. Для этого придумана очень красивая теория, так называемый качельный механизм (seesaw mechanism). Однако ее вряд ли можно проверить экспериментом, во всяком случае в близком будущем.

Барионную асимметрию Вселенной в принципе можно понять на основе Стандартной Модели, но только на качественном уровне. А вот вещь посущественней: по аналогии с лептонными числами физика оперирует также барионными числами. Они определяются чуть сложнее лептонных: каждому кварку приписывается барионное число 1/3, а антикварку, соответственно, –1/3. Понятно что только что описанный процесс бариогенезиса по определению предполагает несохранение барионных чисел — кварки рождались там, где их до того не существовало.

Однако это еще не все. Есть основания считать, что хотя во взаимопревращениях частиц в ранней Вселенной барионные и лептонные числа по отдельности не сохранялись, их разность во всех реакциях оставалась неизменной. Теория утверждает, что это сохранение обеспечивали особые статические конфигурации квантовых полей, связанных с электрослабыми взаимодействиями. Эти конфигурации принято называть сфалеронами. Согласно этой модели, именно сфалероны оказались посредниками тех процессов, которые вскоре после Большого Взрыва привели к несохранению барионных чисел.

Другие возможности

Майорановские фермионы в принципе можно искать не только в начале Вселенной, но и сегодня. Хорошими кандидатами здесь считаются партнеры уже известных частиц, чье существование вытекает из очень красивой идеи суперсимметрии. Согласно этой концепции, у каждого фермиона должен существовать парный ему бозон, а у каждого бозона — фермион.

Например, фотону с его единичными спином соответствует суперпартнер с половинным спином, так называемое фотино. Но фотон, как известно, сам себе античастица, и того же можно ожидать от фотино. Получается, что фотино — это майорановский фермион.

Если суперпартнеры частиц Стандартной Модели удастся обнаружить на Большом Адронном Коллайдере или, скорее, более мощных ускорителях, эту гипотезу можно будет подвергнуть проверке. Другая возможность состоит в том, что темная материя хотя бы частично состоит из майорановских фермионов. Есть даже гипотеза, что эти фермионы при столкновениях или распадах производят космические лучи самых высоких энергий.

В последнее время майорановские фермионы активно ищут и среди обширного набора квазичастиц, которыми оперирует современная физика конденсированных систем. Так называют квантованные периодические коллективные возбуждения в конденсированных средах. С классической точки зрения, это волновые процессы. Однако, в соответствии с гипотезой Луи де Бройля о корпускулярно-волновом дуализме их можно рассматривать и как аналоги элементарных частиц, правда отнюдь не полные. Корпускулярные свойства квазичастиц реально проявляются только при очень низких температурах, когда их число относительно невелико. При нагреве оно быстро растет, квазичастицы «смешиваются», и их «заквантованность» постепенно исчезает.

Квазичастицы в высшей степени востребованы в теории конденсированных сред. Например, магноны вносят важный вклад в такие свойства веществ, как теплоемкость и намагниченность. Знаменитая теория сверхпроводимости Джона Бардина, Леона Нила Купера и Джона Роберта Шриффера (теория БКШ) основана на гипотезе, что сверхпроводящий ток переносится электронными парами, которые возникают благодаря электрон-фононному взаимодействию. Переход жидкого гелия из сверхтекучего состояния в нормальное объясняется тем, что вблизи критической температуры быстро растет плотность квазичастиц двух видов (фононов и квантованных вихрей, ротонов), которые при дальнейшем повышении температуры разрушают сверхтекучую компоненту. Квазичастицы с успехом используют и при объяснении свойств ядерной материи.

Известны квазичастицы, которые можно считать копиями своих антиверсий (таковы, например, экситоны). Правда, все они бозоны, и потому на роль аналогов майорановских частиц явно не годятся. Однако в последние годы появились сообщения, что в некоторых сверхпроводящих системах удалось реализовать полноценные квазичастичные аналоги майорановских фермионов. Но полного признания у специалистов они пока не получили.

Совсем недавно эта тема нашла довольно сенсационное продолжение. 19 февраля корпорация Microsoft объявила о создании прототипа первого в мире компьютерного чипа с принципиально новой архитектурой, реализованной на основе алюминиевых нанопроволок на подложке из арсенида индия. Компания утверждает, что ее работа основана на генерации контролируемых квантовых возбуждений майорановского типа, иначе говоря майорановских квазичастиц. Этому микропроцессору присвоено и соответствующее название — Majorana 1. Фирма обещает, что ее чип позволит получать более стабильные и лучше управляемые кубиты, нежели другие прототипы квантовых компьютерных систем.

Это сообщение одновременно появилось как в пресс-релизе компании, так и в журнале Nature. Однако уже на следующей неделе тот же журнал опубликовал присланную в редакцию критику: отсутствие деталей в пресс-релизе и даже сомнения в самой возможности создания квантового компьютера на основе майорановских квазичастиц. 20 марта о растущих сомнениях в отношении корректности претензий сотрудников Microsoft на создание майорановского процессора сообщил и журнал Science.

Вот примерно так сейчас обстоят дела. Предсказывать, чем закончится история с «майорановым» чипом, я не берусь, хотя скорого успеха в любом случае не жду. Напомню, что в 2018 году связанные с этой корпораций физики из Дельфтского университета опубликовали в Nature статью о создании низкотемпературного наноустройства, в котором им якобы удалось обнаружить майорановские квазичастицы.

Однако осенью 2019 года сотрудники Питтсбургского университета во главе с Сергеем Фроловым объявили, что им не удалось воспроизвести результаты нидерландских коллег. В результате университет Дельфта начал расследование, а авторы вызвавшей сомнения статьи в марте 2021 года поместили в том же Nature фактическое отречение от своей первоначальной заявки. Эта история уже не нова, но еще не забыта.

Напоследок два замечания. Иногда пишут, что надежно удостоверенное открытие майорановских квазичастиц полностью подтвердило бы теорию Майораны. На самом деле все не так просто. Во-первых, квазичастицы физики конденсированных систем сильно отличаются от электронов, нейтрино и прочих «настоящих» частиц Стандартной Модели. Во-вторых, уравнение Майораны написано для четырехмерного псевдоевклидова пространства-времени специальной теории относительности (пространства Минковского). В основе физики твердого тела и других конденсированных систем лежит уравнение Шрёдингера, «действующее» в трехмерном евклидовом пространстве. Есть и другие различия, но этих достаточно.

Второе замечание уже, скорее, философское. Многие верят, что любая достаточно красивая математизированная физическая модель обязательно должна иметь реальные воплощение — если не в нашем мире, то в Мультивселенной. Про последнюю рассуждать не берусь, но вот в первой версии сильно сомневаюсь. Например, теории суперсимметрии и суперструн отличаются бесспорной красотой, но никаких экспериментальных подтверждений за несколько десятилетий своего существования не обрели, а обретут ли в будущем, неизвестно.

В качестве примера из «раньшего времени», как говорил Паниковский, можно вспомнить хотя бы немецкого математика Теодора Калуцу, который в 1921 году предложил единую теорию гравитации и электромагнетизма на основе пятимерного расширения пространства Минковского. Она была очень элегантной, особенно после модификации, выполненной через пять лет Оскаром Клейном, но тоже «не пошла». И таких примеров в истории физики великое множество. Забывать о них не стоит.